प्रायोगिक ज्यामिति - आठवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1
एक चतुर्भुज की रचना
एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना करने के लिए निम्नलिखित में से किसी एक परिस्थिति अनिवार्य है
(i) जब चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिया हुआ है।
(ii) जब दो विकर्ण और तीन भुजाएँ दी हुई हैं।
(iii) जब दो आसन्न भुजाएँ और तीन कोण दिये हुए हैं।
(iv) जब तीन भुजाएँ और उनके बीच के दो कोण दिये हुए हैं।
(v) जब अन्य विशिष्ट गुण ज्ञात हैं।
एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1
एक चतुर्भुज की रचना जब चारों भुआएँ और एक विकर्ण की लम्बाई दी हो
क्लास आठवीं गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना जब चारों भुआएँ और एक विकर्ण की लम्बाई दी हो एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1 प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए
(i) चतुर्भुज ABCD जिसमें
AB = 4.5 cm
BC = 5.5 cm
CD = 4 cm
AD = 6 cm
AC = 7 cm
हल
दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित किया जाता है।
यहाँ चतुर्भुज की चारों भुजाएँ और एक विकर्ण दिया गया है।
चतुर्भुज की रचना करने के लिए सबसे पहले उसकी रचना में विकर्ण को खींचा जाता है।
चरण (i) एक क्षैतिज रेखा खींचे।
चरण (ii) इस क्षैतिज रेखा को 7 cm के व्यास का दो चाप बनाकर चिन्हित किया जाता है।
यह दिये गये चतुर्भुज का विकर्ण है, इसे AC नाम दिया गया है।
चरण (iii) जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, भुजा ` AD = 6 cm `; इस विकर्ण के बिन्दु A से 6cm व्यास का एक चाप बनाते हैं।
चरण (iv) जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, `CD = 4 cm`; बिन्दु C से 4 cm के व्यास का एक चाप बनाकर बिन्दु D को चिन्हित करें।
चरण (v) अब बिन्दु D और C को मिलाएँ।
चरण (vi) अब बिन्दु A और D को मिलाएँ।
चरण (v) अब बिन्दु A से `4.5 cm` व्यास का एक चाप बनाएँ और व्यास `5.5 cm` का एक दूसरा चाप बिन्दु C से भुजा AB और BC बनाने के लिए बनाएँ।
चरण (vi) अब बिन्दु C और B को मिलाएँ।
चरण (vii) अब बिन्दु A और B को मिलाएँ।
तथा सभी भुजाओं का माप लिखें।
यह दिये गये चतुर्भुज की रचना है।
क्लास आठवीं गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना जब चारों भुआएँ और एक विकर्ण की लम्बाई दी हो एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1 प्रश्न संख्या (1) (ii) चतुर्भुज JUMP जिसमें
JU = 3.5 cm
UM = 4 cm
MP = 5 cm
PJ = 4.5 cm
PU = 6.5 cm
हल
इस प्रश्न में चतुर्भुज का एक विकर्ण और चार भुजाएँ दी गयी हैं।
जब चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिये गये हों तो चतुर्भुज की रचना करने के लिए सर्वप्रथम उसके विकर्ण को बनाया जाता है तत्पश्चात अन्य चारों भुजाएँ बनायी जाती हैं।
यहाँ PU = 6.5 cm जो कि चतुर्भुज का विकर्ण है।
दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित किया जाता है।
चरण(i) एक क्षैतिज रेखा खींचे तथा उसपर दो चाप व्यास 6.5cm का बनाकर बिन्दु P और U को चिन्हित करें।
चरण(ii) कम्पास और स्केल की सहायता से UM = 4cm और MP = 5cm मापकर विकर्ण की दायीं ओर चिन्हित करें। तथा इस बिन्दु को M से चिन्हित करें।
चरण(iii) अब बिन्दु U और M एवं M और P को मिलाएँ।
चरण (iv) कम्पास और स्केल की सहायता से JU = 3.5cm माप कर बिन्दु U से एक चाप बनाएँ और PJ = 4.5cm माप कर बिन्दु P से दूसरा चाप विकर्ण के बायीं ओर चिन्हित करें। चापों के मिलान बिन्दु को J नाम दें।
चरण (v) बिन्दु J और U को और बिन्दु P और J को मिलाकर चतुर्भुज की रचना पूर्ण करें।
यह दिये गये चतुर्भुज की रचना है।
क्लास आठवीं गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना जब चारों भुआएँ और एक विकर्ण की लम्बाई दी हो एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1 प्रश्न संख्या (1) (iii) समांतर चतुर्भुज MORE जिसमें
OR = 6cm
RE = 4.5cm
EO = 7.5cm
हल
यहाँ समांतर चतुर्भुज की दो समांतर भुजाएँ और एक विकर्ण दिये गये हैं।
समांतर भुजा (i) = OR = 6 cm
समांतर भुजा (ii) = RC = 4.5 cm
तथा विकर्ण = EO = 7.5 cm
चूँकि यहाँ एक विकर्ण और दो समांतर भुजाओं के माप दिये गये हैं, अत: सर्वप्रथम चतुर्भुज की रचना करने के लिये विकर्ण से शुरू करेंगे।
दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित किया जाता है।
चरण (i) एक क्षैतिज रेखा खींचकर उसपर 7.5 cm व्यास के चाप की सहायता से दो चिन्ह बनाएँ। इन दोनों बिन्दुओं में से एक का नाम O और दूसरे का नाम E रखें। यह दिये गये चतुर्भुज का विकर्ण है।
चरण (ii) चतुर्भुज के विकर्ण के बिन्दु O से 4.5 cm व्यास का एक चाप और E से 6 cm व्यास का एक चाप विकर्ण के ऊपर की ओर बनायें। और इस कटान बिन्दु का नाम M रखें।
चरण (iii) बिन्दु E और M और O और M को मिलायें।
चरण (iv) विकर्ण OE के O बिन्दु से एक 6 cm व्यास का चाप और बिन्दु E से 4.5 cm व्यास का एक चाप विकर्ण OE के नीचे की ओर बनायें। और इन चापों के कटाव बिन्दु का नाम R रखें।
चरण (v) बिन्दु O और R को मिलायें और फिर बिन्दु E और R को मिलाकर चतुर्भुज की रचना को पूरा करें।
यह दिये गये समांतर चतुर्भुज की रचना है।
क्लास आठवीं गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना जब चारों भुआएँ और एक विकर्ण की लम्बाई दी हो एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.1 प्रश्न संख्या (1) (iv) सम चतुर्भुज BEST जिसमें
BE = 4.5 cm और
ET = 6 cm
हल
दिया गया है, समचतुर्भुज की भुजा = 4.5 cm
तथा सम चतुर्भुज का विकर्ण (ET) = 6cm
चूँकि एक सम चतुर्भुज की सभी भुजाओं का माप बराबर होता है, अत: दिये गये सम चतुर्भुज की भुजाएँ = 4.5 cm
यहाँ चूँकि सम चतुर्भुज आ एक विकर्ण दिया गया है। अत: दिये गये सम चतुर्भुज की रचना विकर्ण ET से शुरू करें।
चरण (i) सर्वप्रथम एक क्षैतिज रेखा खींचे और इस रेखा में व्यास 6 cm के चाप की सहायता से दो चिन्ह लगायें।
चरण (ii) बिन्दु E से 4.5cm व्यास का एक चाप और बिन्दु T से 4.5cm व्यास का एक चाप विकर्ण ET के ऊपर की ओर खींचें और इन चापों के कटान बिन्दु का नाम B रखें।
चरण(iii) बिन्दु B से E को और उसी बिन्दु B से फिर T को मिलायें।
चरण (iv)
चरण (ii) बिन्दु E से 4.5cm व्यास का एक चाप और बिन्दु T से 4.5cm व्यास का एक चाप विकर्ण ET के नीचे की ओर खींचें और इन चापों के कटान बिन्दु का नाम S रखें।
चरण (v) बिन्दु S से E और T को मिलायें। और दिये गये सम चतुर्भुज की रचना को पूरा करें।
यह दिये गये सम चतुर्भुज की रचना है।
Reference: