बहुपद: क्लास नौवीं गणित

ब्यंजक जिसमें एक से अधिक पद हों को बहुपद कहते हैं।

बहुपद को अंग्रेजी में पॉलिनोमियल (Polynomial) कहा जाता है।

पॉलिनोमियल (Polynomial) दो शब्दों "पॉली (Poly)" और "नोमेन (Nomen)" से मिलकर बना है।

"पॉली (Poly)" एक ग्रीक शब्द है जिसका अर्थ होता है "बहुत" और "नोमेन (Nomen)" एक लैटिन शब्द है जिसका अर्थ है "नाम या पद"।

इस तरह "बहुपद (Polynomial)" का अर्थ है कई पदों वाला।

बहुपद (पॉलिनोमियल) की परिभाषा

चर तथा गुणांक वाला वैसा ब्यंजक जिसमें गणित की मूल संक्रिया यथा योग, घटाव, ग़ुणा आदि समाहित हों तथा उसके चर के घात केवल धनात्मक पूर्ण संख्या हों, बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] कहलाता है।

इसका अर्थ है कि एक ब्यंजक जिसमें

(a) चर और गुणांक हों,

(b) गणित की मूल संक्रियाएँ यथा योग, घटाव, गुणा आदि समाहित हों

(c) तथा ब्यंजक के चर के घात केवल धनात्मक पूर्ण संख्या हों

को बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] कहा जाता है।

उदाहरण

2, 2x, 3x, 3x + 2, x² + x + 7, आदि बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] के कुछ उदाहरण हैं।

लेकिन बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] होने के कुछ प्रतिबंध हैं।

(1) ब्यंजक जिसमें कोई चर हर के रूप में है, बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] नहीं होता है।

उदाहरण

`1/x`, `2/x-1, 1/(x-2)`, आदि बहुपद नहीं हैं।

(2) ब्यंजक जिसमें किसी चर का घात ऋणात्मक हो, बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] नहीं कहलाता है।

उदाहरण

अत:, x^-2, `sqrt(x)`, 3x² + x^-3, आदि बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] नहीं हैं।

लेकिन, `1/8x` एक बहुपद [पॉलिनोमियल (Polynomial)] है। क्योंकि यहां गुणांक का हर एक धनात्मक पूर्णांक है।

बहुपद में चर तथा अचर

किसी बहुपदमें प्राय: x, y, z, आदि को चर के रूप में रखा जाता है। तथा 1, 2, 3, 4, . . . को बहुपद का अचर कहा जाता है।

उदाहरण

किसी बहुपद 2x + 3, में 2 और 3 अचर हैं तथा x एक चर है।

गुणांक

बहुपद के किसी पद का गुणन कारक (multiplicative factor) उस पद का गुणांक (Coefficient) कहलाता है।

उदाहरण

3x² + 2y + z +1

इस बहुपद में x² का गुणांक 3 है।

तथा y का गुणांक = 2

तथा z का गुणांक = 1

बहुपद के प्रकार

बहुपद में विद्यमान पदों की संख्या के अनुसार पद को वर्गीकृत किया जा सकता है जैसे एकपदी, द्विपदी, त्रिपद, आदि

एकपदी [मोनोमियल (Monomial)]

ब्यंजक जिसमें केवल एक पद होते हैं, को एकपदी कहा जाता है। एकपदी को अंग्रेजी में मोनोमियल (monomial) कहा जाता है। मोनोमियल में अंग्रेजी शब्द मोनो का अर्थ एक होता है।

उदाहरण

2x, 2xy, 2x², 2x²z, आदि

चूँकि उदाहरण में दिये गये ब्यंजकों में केवल एक पद हैं, अत: ये एकपदी [मोनोमियल (monomial)] हैं।

द्विपदी [बायनोमियल (Binomial)]

बीजगणितीय ब्यंजक जिसमें दो पद हों को द्विपदी कहा जाता है। द्विपदी को अंग्रेजी में बायनोमियल (Binomial) कहा जाता है।

उदाहरण

(a) 2x + y

चूँकि दिये गये ब्यंजक 2x + y में केवल दो पद 2x और y हैं, अत: यह एक द्विपदी है।

(b) 3x² + y द्विपदी का एक उदाहरण हैं, चूँकि इसमें केवल दो पद 3x² और y हैं।

द्विपदी के कुछ और उदाहरण

2x² +3, 3x + 5y, 5z³ + 5, आदि द्विपदी के कुछ अन्य उदाहरण हैं।

त्रिपद [ट्राइनोमियल (Trinomial)]

बीजगणितीय ब्यंजक जिसमें तीन पद हों को त्रिपद कहा जाता है। त्रिपद को अंग्रेजी में ट्राइनोमियल (Trinomial) कहा जाता है।

उदाहरण

3x + y + 5 द्विपद का एक उदाहरण है, चूँकि इसमें केवल तीन पद 3x, y और 5 हैं।

उसी प्रकार, 2x + 3y + z, 5x + 5 + y, 2x +9 + z, आदि त्रिपद के अन्य उदाहरण हैं।

उसी प्रकार बीजगणितीय ब्यंजक जिसमें चार पद हों, को चतुष्पद [क्वाड्रिनोमियल (QUADRINOMIAL) कहा जाता है और ब्यंजक जिसमें पाँच पद हों को पंचपद [क्विंटिनोमियल (Quintinomial)] कहा जाता है।

पद और घात

किसी बहुपद में चर का पावर उसका घात [एक्सपोनेंट (exponent)] कहा जाता है। तथा किसी बहुपद में पदों को उसका पद कहा जाता है।

दिये गये बहुपद में चर x का घात 2 तथा चर y का घात 3 है। तथा इस दिये गये बहुपद में तीन पद क्रमश: 5x², y³ और 2 हैं। चूँकि इस दिये गये बहुपद में तीन पद हैं अत: यह एक त्रिपद है। तथा इस बहुपद में अधिकतम घात 3 है अत: यह एक त्रिघाती [क्यूविक पॉलिनोमियल (cubic polynomial)] है।

एकपदी और बहुपदी [मोनोमियल एंड पॉलिनोमियल (Monomial and Polynomial)]

बीजगणितीय ब्यंजक जिसमें केवल एक पद हों एकपदी कहलाते हैं। तथा ब्यंजक जिसमें एक से अधिक पद हों बहुपद कहलाते हैं।

अत: द्विपद, त्रिपद, आदि बहुपद हैं।

अचर बहुपद

2, 3, -5, 7, आदि भी एक बहुपद हैं, ऐसे बहुपद को अचर बहुपद कहा जाता है।

शून्य बहुपद

0 भी एक बहुपद है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है।

यदि किसी बहुपद में चर x है, तो इसे p(x), या q(x) या r(x), आदि लिखा जा सकता है। अत:

p(x) = 4x² + x + 3

Or, q(x) = x³ + x² + 2

Or, r(x) = 5x + y, etc.

बहुपद की घात

किसी बहुपद में चर की अधिकतम घात वाले पद के घातांक को बहुपद की घात कहा जाता है।

उदाहरण

(a) p(x) = 4x² + x + 3

अत: यहाँ पर बहुपद की घात = 2 है। चूँकि बहुपद के चर x की अधिकतम घातांक 2 है।

यदि किसी बहुपद की घात 2 है, अत: ऐसे बहुपद को द्विघात बहुपद हैं।

(b) q(x) = x³ + x² + 2

अत: यहा बहुपद की घात = 3 है। चूँकि यहाँ दिये गये बहुपद के चर की अधिकतम घात 3 है।

यदि किसी बहुपद की घात 3 है तो ऐसे बहुपद को त्रिपद बहुपद कहा जाता है।

(c) r(x) = 5x + y, etc.

अत: इस बहुपद की घात = 1 है। चूँकि इस बहुपद के चर x का अधिकतम घात 1 है।

यदि किसी बहुपद की घात 1 है तो ऐसे बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।

शून्येतर अचर बहुपद की घात

एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 का हल

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 बहुपद प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित व्यंजकों में कौन कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए

(i) 4x² - 3x + 7

उत्तर : एक चर में बहुपद है।

ब्याख्या

चूँकि इस बहुपद में केवल एक चर है तथा चर का घातांक धनात्मक पूर्णांक है।

(ii) `y^2 + sqrt2`

उत्तर: एक चर में बहुपद है।

ब्याख्या

चूँकि इस बहुपद में केवल एक चर y है तथा चर का घातांक धनात्मक पूर्णांक है अत: यह एक चर में बहुपद है।

(iii) `3sqrtt + tsqrt2`

उत्तर: यह ब्यंजक एक बहुपद नहीं है।

ब्याख्या

चूँकि इस दिये गये ब्यंजक के चर `t` का घातांक `1/2` है जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है, अत: यह एक बहुपद नहीं है।

(iv) `y+2/y`

उत्तर: यह एक बहुपद नहीं है।

ब्याख्या

चूँकि इस दिये गये व्यंजक के चर `y` का घात `-1` है जो कि एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है, अत: यह एक बहुपद नहीं है।

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰

उत्तर: यह व्यंजक एक चर का बहुपद नहीं है चूँकि इसमें एक से अधिक चर हैं।

ब्याख्या

चूँकि दिये गय व्यंजक में एक से अधिक चर x, y तथा t हैं अत: यह एक चर में बहुपद नहीं है।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 बहुपद प्रश्न संख्या (2) निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए:

(i) 2 + x² + x

उत्तर

x² का गुणांक = 1

(ii) 2 – x² + x³

उत्तर

x² का गुणांक = –1

(iii) `pi/2x^2+x`

उत्तर

x² का गुणांक = `pi/2`

(iv) `sqrt2 x-1`

उत्तर

x² का गुणांक = 0

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 बहुपद प्रश्न संख्या (3) 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक एक उदाहरण दीजिए

उत्तर

35 का द्विपद है x³⁵ + 2

तथा 100 घात का एकपदी है x¹⁰⁰

ब्याख्या

(a) एक व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं द्विपदी कहलाता है। तथा किसी चर का अधिकतम घात 35 हो, तो उस बहुपद की घात 35 होती है।

(b) एक व्यंजक जिसमें एक ही पद हों एकपदी कहलाता है तथा एक बहुपद में किसी चर का अधिकतम घात 100 हो, तो उस बहुपद की घात 100 होती है।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 बहुपद प्रश्न संख्या (4) निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए:

(i) 5 x³ + 4 x² + 7x

उत्तर

दिये गये बहुपद की घात = 3

ब्याख्या

चूँकि दिये गये बहुपद में चर की अधिकतम घात 3 है, अत: इस बहुपद की घात = 3

(ii) 4 – y²

उत्तर

दिये गये बहुपद की घात = 2

ब्याख्या

चूँकि दिये गये बहुपद में चर की अधिकतम घात 2 है, अत: इस बहुपद की घात = 2

(iii) `5t –sqrt7`

उत्तर

दिये गये बहुपद की घात = 1

ब्याख्या

चूँकि दिये गये बहुपद में चर की अधिकतम घात 1 है, अत: इस बहुपद की घात = 1

(iv) 3

उत्तर

दिये गये बहुपद की घात = 0

ब्याख्या

चूँकि दिये गये बहुपद में चर की अधिकतम घात 0 है, अत: इस बहुपद की घात = 0

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1 बहुपद प्रश्न संख्या (5) बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन कौन द्विघाती हैं और कौन कौन त्रिघाती हैं

(i) x² + x

उत्तर: द्विघाती बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 2 और यदि किसी बहुपद की घात 2 हो तो वह द्विघाती बहुपद कहलाता है।

(ii) x – x³

उत्तर: त्रिघाती बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये बहुपद की घात = 3 तथा जिस बहुपद की घात 3 होती है तो वह त्रिघाती बहुपद कहलाता है।

(iii) y + y² + 4

उत्तर: द्विघाती बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 2 और यदि किसी बहुपद की घात 2 हो तो वह द्विघाती बहुपद कहलाता है।

(iv) 1 + x

उत्तर: रैखिक बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 1 और यदि किसी बहुपद की घात 1 हो तो वह रैखिक बहुपद कहलाता है।

(v) 3t

उत्तर: रैखिक बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 1 और यदि किसी बहुपद की घात 1 हो तो वह रैखिक बहुपद कहलाता है।

(vi) r²

उत्तर: द्विघाती बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 2 और यदि किसी बहुपद की घात 2 हो तो वह द्विघाती बहुपद कहलाता है।

(vii) 7 x³

उत्तर: त्रिघाती बहुपद

ब्याख्या

चूँकि दिये गये गये बहुपद की घात = 3 और यदि किसी बहुपद की घात 3 हो तो वह त्रिघाती बहुपद कहलाता है।