बहुपद: क्लास नौवीं गणित

मुख्य बिन्दु

(i) आवश्यक नहीं है कि बहुपद का शून्यक शून्य ही हो।

(ii) 0, बहुपद का एक शून्यक हो सकता है।

(iii) प्रत्येक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शून्यक होता है।

(iv) एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक हो सकते हैं।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.2 बहुपद प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए।

(i) x = 0

उत्तर

दिया गया है, x = 0

तथा, p(x) = 5x – 4x² + 3

अत:, p(0) = 5 × 0 – 4 × 0² + 3

= 0 – 4 × 0 + 3

= 0 – 0 + 3

= 3

अत:, p(0) = 3 उत्तर

(ii) x = –1

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 5x – 4x² + 3

अत:, p(–1) = 5 (–1) – 4 (–1)² + 3

= –5 – 4 × 1 + 3

= –5 – 4 + 3

= –9 + 3

= –6

अत:, p(–1) = – 6 उत्तर

(iii) x = 2

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 5x – 4x² + 3

अत:, p(2) = 5 × 2 – 4 × (2)² + 3

= 10 – 4 × 4 + 3

= 10 – 16 + 3

= – 6 + 3

= –3

अत: p(2) = –3 उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.2 बहुपद प्रश्न संख्या (2) निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:

(i) p(y) = y² – y + 1

उत्तर

दिया गया है, p(y) = y² – y + 1

अत: P(0) = 0² – 0 + 1

= 0 – 0 + 1

= 1

अत: p(0) = 1

और, p(1) = 1² – 1 + 1

= 1 – 1 + 1

= 1

अत: p(1) = 1

और, p(2) = 2² – 2 + 1

= 4 – 2 + 1

= 2 + 1 = 3

अत: p(2) = 3

अत: p(0) = 1, p(1) = 1 and p(2) = 3 उत्तर

(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³

उत्तर

दिया गया है, p(t) = 2 + t + 2t² – t³

अत: p(0) = 2 + 0 + 2 (0)² – (0)³

= 2 + 2 × 0 – 0

= 2 + 0 – 0

= 2

अत: p(0) = 2

और, p(1) = 2 + 1 + 2 (1)² – (1)³

= 2 + 1 + 2 × 1 – 1

= 2 + 1 + 2 – 1

= 5 – 1

= 4

अत: p(1) = 4

अत:, p(2) = 2 + 2 + 2 (2)² – (2)³

= 4 + 2 × 4 – 8

= 4 + 8 – 8

= 4

अत: p(2) = 4

अत: p(0) = 2, P(1) = 4 and p(2) = 4 उत्तर

(iii) p(x) = x³

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³

अत: p(0) = 0³

⇒ p(0) = 0

अत:, p(1) = 1³

⇒ p(1) = 1

अत:, p(2) = 2³

⇒ p(2) = 8

अत: p(0) = 0, p(1) = 1 and p(2) = 8 उत्तर

(iv) p(x) = (x – 1)(x + 1)

उत्तर

दिया गया है, p(x) = (x – 1)(x + 1)

अत: p(0) = (0 – 1)(0 + 1)

= –1 × 1

= –1

अत: p(0) = –1

अत:, p(1) = (1 – 1) (1 + 1)

= 0 × 2 = 0

अत: p(1) = 0

और, p(2) = (2 – 1) (2 + 1)

= 1 × 3 = 3

अत: p(2) = 3

अत: p(0) = –1, p(1) = 0 and p(2) = 3 उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.2 बहुपद प्रश्न संख्या (3) सत्यापित कीजिए कि दिखाए गये मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:

(i) p(x) = 3x + 1, x=–1/3

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 3x + 1

अत: `p(-1/3)=3×-1/3 + 1`

= –1 + 1 = 0

अत: `p(-1/3) = 0`

अत: `x =-1/3` दिये गये बहुपद का शून्यक हैं।उत्तर

(ii) `p(x) = 5x-pi, x=4/5`

उत्तर

दिया गया है, `p(x) = 5x-pi`

अत: `p(4/5) = 5xx4/5-pi`

`=4-22/7`

`=(28-22)/7`

`=>p(4/5)=6/7`

अत: `4/5` दिये गये बहुपद का शून्यक नही है।

(iii) p(x) = x² –1, x = 1, –1

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x² –1,

अत: p(1) = 1² – 1

= 1 – 1 =0

⇒p(1) = 0

तथा, p(–1) = (-1)² – 1

= 1 – 1 = 0

⇒ p(–1) = 0

अत: 1 और –1 दिये गये बहुपद के शून्यक हैं। उत्तर

(iv) p(x) = (x + 1) (x – 2), x = –1, 2

उत्तर

दिया गया है, p(x) = (x + 1) (x – 2)

अत: p(–1) = (–1 + 1)(–1 – 2)

= 0 ×(–3)

⇒ p(–1) = 0

अत:, p(2) = (2 + 1)(–2 – 2)

= 3 × 0

⇒ p(2) = 0

अत: –1 और 2 दिये गये बहुपद के शून्यक हैं।उत्तर

(v) p(x) = x², x = 0

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x²

अत: p(0) = 0²

⇒ p(0) = 0

अत: 0 दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(vi) `p(x) = lx+m, x =-m/l`

उत्तर

दिया गया है, `p(x) = lx+m`

अत: `p(-3/l) = lxx-m/l+m`

= – m + m

`=>p(-m/l) = 0`

अत: `-m/l` दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(vii) p(x) = 3x² – 1, `x=-1/sqrt3, 2/sqrt2`

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 3x² – 1

अत: `p(-1/sqrt3) = 3xx(-1/sqrt3)^2 – 1`

`=3xx1/3 – 1`

= 1 – 1

`=>p(-1/sqrt3)=0`

और, `p(2/sqrt3) = 3xx(2/sqrt3)^2-1`

`=3xx4/3-1`

= 4 – 1

`=>p(2/sqrt3) = 3

अत: केवल `–1/sqrt3` दिये गये बहुपद का शून्यक है।उत्तर

(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 2x + 1

अत: `p(1/2) =2xx1/2+1`

= 1 + 1

`=> p(1/2)=2`

अत: 1/2 दिये गये बहुपद का शून्यक नहीं है। उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.2 बहुपद प्रश्न संख्या (4) निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:

(i) p(x) = x + 5

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x + 5

अत: p(x) = 0

⇒ x + 5 = 0

अत: x = – 5

अत: –5 दिये गये बहुपद का शून्यक है।उत्तर

(ii) p(x) = x – 5

उत्तर

p(x) = x – 5

अत: p(x) = 0

⇒ x – 5 = 0

⇒ x = 5

अत: 5 दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(iii) p(x) = 2x + 5

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 2x + 5

अत: p(x) = 0

⇒ 2x + 5 = 0

⇒ 2x = – 5

`=> x = 5/2`

अत: `5/2` दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(iv) p(x) = 3x – 2

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 3x – 2

अत: p(x) = 0

⇒ 3x – 2 = 0

⇒ 3x = 2

`=>x=2/3`

अत: `2/3` दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(v) p(x) = 3x

उत्तर

दिया गया है, p(x) = 3x

अत: p(x) = 0

⇒ 3x = 0

`=> x = 0/3 = 0`

अत: 0 दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(vi) p(x) = ax, a ≠0

उत्तर

दिया गया है, p(x) = ax

अत: p(x) = 0

⇒ ax = 0

`=>x = 0/a`

⇒ x = 0

अत: 0 दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर

(vii) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

उत्तर

दिया गया है, p(x) = cx + d

अत: जब p(x) = 0

⇒ c x + d = 0

⇒ c x = – d

`=> x = -d/x`

अत: `-d/x` दिये गये बहुपद का शून्यक है। उत्तर