बहुपद: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.3 बहुपद प्रश्न संख्या (1) x³ + 3x² + 3x +1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:

(i) x + 1

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

इस बहुपद को x + 1 से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि, x + 1 = 0

अत:, x = –1

अत:, x + 1 = –1 का शून्यक है।

अत: p(–1) = (–1)³ + 3(–1)² + 3(–1) + 1

= –1 + 3×1 –3 + 1

= 0

अत: शेषफल = 0 उत्तर

वैकल्पिक विधि

अत: शेष = 0

(ii) `x-1/2`

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

इस बहुपद को `x-1/2` से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि, `x-1/2=0`

अत: x = 1/2

अत: zeros of x – 1/2 = 1/2

अत: `p(1/2)`

अत: शेष = 27/8 उत्तर

वैकल्पिक विधि

अत: शेष = 27/8 उत्तर

(iii) `x`

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

इस बहुपद को `x` से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि x = 0

अत: दिये गये बहुपद का शून्यक x = 0

अब शेष प्रमेय के अनुसार

p(0) = 0³ + 3(0)² + 3 × 0 + 1

= 0 + 0 + 0 + 1

⇒ p(0) = 1

अत: शेष = 1 उत्तर

वैकल्पिक विधि

(iv) `x+pi`

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

इस बहुपद को `x+pi` से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि , `x+pi=0`

अत: `x=-pi`

अत: बहुपद `x+pi` का शून्यक `=-pi` है।

अब शेषफल प्रमेय के अनुसार `p(pi)`

अत: शेष `=-pi^2+3pi^2-3pi+1` उत्तर

वैकल्पिक विधि

अत: शेष `=-pi^2+3pi^2-3pi+1` उत्तर

(v) 5 + 2 x

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

इस बहुपद को 5 + 2 x से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि , 5 + 2 x = 0

⇒ 2 x = –5

⇒ x = –5/2

अत: बहुपद 5 + 2x का शून्यक = –5/2

अत: `p(-5/2)`

अत: शेष `=-27/8` उत्तर

वैकल्पिक विधि

अत: शेष `=-27/8` उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.3 बहुपद प्रश्न संख्या (2) Find the remainder when x³ – ax² + 6x – a is divided by x – a.

उत्तर

दिया गया है, p(x) = x³ – ax² + 6x – a

इस बहुपद को x – a से भाग देने पर शेष = ?

मान लिया कि , x – a = 0

अत: x = a

अत: शेषफल प्रमेय के अनुसार,

P(a) = a³ – a × a² + 6 a – a

= a³ – a³ + 6a – a

= 6a – a

= 5a

अत: शेष = 5a उत्तर

वैकल्पिक विधि

अत: शेष = 5a उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.3 बहुपद प्रश्न संख्या (3) Check whether 7 + 3x is a factor of 3x³ + 7x

उत्तर

दिया गया है, 3x³ + 7x

अत: 7 + 3x दिये गये बहुपद का गुणक है अथवा नहीं?

मान लिया कि 7 + 3x = 0

अत: 3x = –7

`=>x = -7/3`

अत: बहुपद 7 + 3x का शून्यक `=-7/3`.

अब शेषफल प्रमेय के अनुसार

अत: शेष `=-490/9`

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य नहीं है, अत: 7 + 3x दिये गये बहुपद 3x³ + 7x का गुणक नहीं है।

अत: उत्तर is No.

वैकल्पिक विधि

अत: शेष `=-490/9`

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य नहीं है, अत: 7 + 3x दिये गये बहुपद 3x³ + 7x का गुणक नहीं है।

अत: उत्तर is No.