बहुपद: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 का हल
बहुपदों का गुणनखंड
गुणनखंड प्रमेय (फैक्टर थेवरम)
गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार यदि p(x) घात `n>=1` वाला एक बहुपद हो और a कोई वास्तविक संख्या हो, तो(i) x – p(x) का एक गुणनखंड होता है, यदि p(a) = 0 हो, और
(ii) p(a) = 0, होता है, यदि x – p(x) का एक गुणनखंड हो।
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 बहुपद क्लास नौवीं गणित प्रश्न संख्या (1) बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड (x +1) है।
(i) x3 + x2 + x + 1
उत्तर
मान लिया कि, x + 1 = 0
अत:, x = –1
अत: (x + 1) का शून्यक = –1 है।
अब मान लिया कि p(x) = x3 + x2 + x + 1
अत: p(–1) = (–1)3 + (–1)2 + (–1) + 1
= –1 + 1 –1 + 1
= 0
चूँकि p(–1) = 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है।
अत: उत्तर = हाँ।
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
उत्तर
मान लिया कि, p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
अत: x + 1, p(x) का गुणनखंड है या नहीं?
यहाँ x + 1 का शून्यक = –1
अब,
P(–1) = (–1)4 + (–1)3 + (–1)2 + (–1) + 1
= 1 + (–1) + 1 – 1 + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1
चूँकि यहाँ p(x) ≠ 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड नहीं है।
अत: उत्तर = नहीं
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
उत्तर
मान लिया कि, p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
अत: x + 1 दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है अथवा नहीं?
यहाँ x + 1 का शून्यक = –1
अब,
p(–1) = (–1)4 + 3(–1)3 + 3(–1)2 + (–1) + 1
= 1 + 3(–1) + 3 × 1 –1 +1
= 1 – 3 + 3
= 1
चूँक़ि यहाँ p(x) ≠ 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड नहीं है।
अत: उत्तर = नहीं
(iv) x3 – x2 `-(2+sqrt2)x+sqrt2`
उत्तर
मान लिया कि, p(x) = x3 – x2 `-(2+sqrt2)x+sqrt2`
अत: x + 1 दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है अथवा नहीं?
यहाँ x + 1 का शून्यक = –1
अत: p(–1) = (–1)3 – (–1)2 `-(2+sqrt2)xx(-1)+sqrt2`
= –1 – 1 + 2 +`sqrt2+sqrt2`
= –2 + 2 + `2sqrt2`
`=2sqrt2`
चूँकि यहाँ p(x) ≠ 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड नहीं है।
अत: उत्तर = नहीं
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 बहुपद क्लास नौवीं गणित प्रश्न संख्या (2) गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x +1
उत्तर
दिया गया है, p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1
और, g(x) = x + 1
अत: g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं?
यहाँ x + 1 का शून्यक = –1
अब, p(–1) = 2(–1)3 + (–1)2 – 2(–1) – 1
= 2(–1) + 1 + 2 – 1
= –2 + 3 –1
= 0
चूँकि, p(–1) = 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का एक गुणनखंड है।
अत: उत्तर = Yes
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
उत्तर
दिया गया है, p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
अत: g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं?
अब x + 2 का शून्यक = –2
अत: p(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 3(–2) + 1
= –8 + 3×4 – 6 + 1
= – 8 + 12 –5
= –1
यहाँ चूँकि p(–2) ≠ 0
अत: गुणनखंड प्रमेय g(x), p(x) का गुणनखंड नहीं है।
अत: उत्तर = नहीं
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
उत्तर
दिया गया है, p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
अत: g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं?
मान लिया कि x – 3 = 0
अत: x = 3
g(x) x – 3 का शून्यक = 3
अब p(3) = x3 – 4x2 + x + 6
= 33 – 4(3)2 + 3 + 6
= 27 – 4 × 9 + 9
= 27 – 36 + 9
= 36 – 36 = 0
यहाँ चूँकि p(3) = 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का गुणनखंड है।
अत: उत्तर = हाँ।
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 बहुपद क्लास नौवीं गणित प्रश्न संख्या (3) k का मान ज्ञात कीजिए जबकि नुम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो:
(i) p(x) = x2 + x + k
उत्तर
दिया गया है, p(x) = x2 + x + k
तथा, (x – 1), p(x) का गुणनखंड है, तो k = ?
चूँकि (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड है तथा x –1 का शून्यक = 1
अत: p(1) = 0
अब p(1) = x2 + x + k
⇒ 0 = 12 + 1 + k
⇒ 0 = 1 + 1 + k
⇒ 2 + k = 0
⇒ k = – 2 उत्तर
(ii) p(x) = 2x2 + kx + `sqrt2`
उत्तर
Given, p(x) = 2x2 + kx + `sqrt2`
तथा, (x – 1), p(x) का गुणनखंड है, तो k = ?
चूँकि (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड है तथा x –1 का शून्यक = 1
अत: p(1) = 0
अब चूँकि p(x) = 2x2 + kx + `sqrt2`
अत: p(1) = 2(1)2 + k(1) + `sqrt2`
⇒ 0 = 2 + k + `sqrt2`
⇒ k + `sqrt2` = –2
`=>k=-2-sqrt2` or `-(2+sqrt2)` उत्तर
(iii) p(x) = kx2 – `sqrt2\x` + 1
उत्तर
दिया गया है, p(x) = kx2 – `sqrt2\x` + 1
तथा, (x – 1), p(x) का गुणनखंड है, तो k = ?
चूँकि (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड है तथा x –1 का शून्यक = 1
अत: p(1) = 0
अब चूँकि p(x) = kx2 – `sqrt2\x` + 1
अत: p(1) = k (1)2 – `sqrt2\xx1` + 1
⇒ 0 = k – `sqrt2` + 1
⇒ k = `sqrt2-1` उत्तर
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
उत्तर
दिया गया है, p(x) = kx2 – 3x + k
तथा, (x – 1), p(x) का गुणनखंड है, तो k = ?
चूँकि (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड है तथा x –1 का शून्यक = 1
अत: p(1) = 0
तथा चूँकि p(x) = kx2 – 3x + k
अत: p(1) = k (1)2 – 3 × 1 + k
⇒ 0 = k – 3 + k
⇒ 0 = 2k – 3
⇒ 2k = 3
⇒ k = 3/2 उत्तर
Reference: