बहुपद: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 बहुपद क्लास नौवीं गणित प्रश्न संख्या (4) गुणनखंड ज्ञात कीजिए

(i) 12 ² – 7x + 1

उत्तर

दिया गया है, 12 ² – 7x + 1

माध्य पद को विस्तारित करने पर

= 12 x² – 3x – 4x + 1

= 3x (4x – 1) –1 (4x – 1)

= (4 x – 1) (3x – 1) उत्तर

(ii) 2 x² + 7 x + 3

उत्तर

दिया गया है, 2 x² + 7 x + 3

माध्य पद को विस्तारित करने पर

= 2 x² + 6 x + x + 3

= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)

= (x + 3) (2x + 1) उत्तर

(iii) 6 x² + 5x – 6

उत्तर

दिया गया है, 6 x² + 5x – 6

माध्य पद को विस्तारित करने पर

= 6 x² + 9 x – 4 x – 6

= 3 x (2x + 3) – 2(2x + 3)

= (2x + 3) (3x – 2) उत्तर

(iv) 3x² – x – 4

उत्तर

दिया गया है, 3x² – x – 4

माध्य पद को विस्तारित करने पर

= 3x² + 3x – 4x – 4

= 3x (x + 1) – 4( x + 1)

=(x + 1)(3x – 4) उत्तर

एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.4 बहुपद क्लास नौवीं गणित प्रश्न संख्या (5) गुणनखंड ज्ञात कीजिए

(i) x³ – 2 x² – x + 2

उत्तर

दिया गया है, x³ – 2 x² – x + 2

यहाँ नियत पद = 2

अत: ab = 2

अब नियत पद 2 का गुणनखंड = 1 तथा 2

अब मान लिया कि p(x) = x³ – 2 x² – x + 2

अत: p(1) = 1³ – 2 (1)² – 1 + 2

= 1 – 2 – 1 + 2 = 0

i.e. p(1) = 0

अत: गुणनखंड प्रमेय के आधार पर दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड (x – 1) होगा।

अब x³ – 2 x² – x + 2

= x³ – x² –x² + x – 2x + 2

= x²(x – 1) – x(x –1) – 2(x – 1)

= (x – 1) (x² – x – 2)

= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)

= (x – 1) [x (x –2) + 1 (x –2)]

= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

= (x – 1) (x + 1) (x – 2) उत्तर

(ii) x³ – 3 x² – 9 x – 5

उत्तर

दिया गया है, x³ – 3 x² – 9 x – 5

यहाँ नियत पद = –5

i.e. ab = –5

अब –5 का गुणनखंड = ±1, ±5

यहाँ चूँकि p(x) = x³ – 3 x² – 9 x – 5

अत: p(1) = (1)³ – 3(1)² – 9 – 5

= 1 – 3 – 9 – 5

= –2 – 9 – 5

= –16

चूँकि p(1) ≠ 0, अत: यह दिये गये बहुपद का शून्यक नहीं है।

तथा p(5) = 5³ – 3 (5)² – 9 × 5 – 5

= 125 – 3 × 25 – 45 – 5

= 125 – 75 – 50

= 125 – 125 = 0

चूँकि p(5) = 0, अत: गुणनखंड प्रमेय के आधार पर x – 5 दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है।

अब

P(x) = x³ – 3 x² – 9 x – 5

= x³ – 5x² + 2x² – 10x + x – 5

= x²(x – 5) + 2x ( x – 5) + 1 (x – 5)

= (x – 5)(x² + 2x + 1)

= (x – 5) (x² + x + x + 1)

= (x – 5) [x (x + 1) + 1(x + 1)]

= (x – 5) (x + 1) (x + 1) उत्तर

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20

उत्तर

दिया गया है, x³ + 13x² + 32x + 20

यहाँ नियत पद ab = 20

तथा 20 का गुणनखंड = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

अब मान लिया कि p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20

अत: p(–10) = (–10)³ + 13(–10)² + 32(–10) + 20

= – 1000 + 13 × 100 – 320 + 20

= – 1000 + 1300 – 300

= – 1300 + 1300 = 0

अब चूँकि p(–10) = 0

अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 10 दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है।

अब x³ + 13x² + 32x + 20

= x³ + 10x² + 3x² + 30x + 2x + 20

= x² (x + 10) + 3x( x + 10) + 2( x + 10)

= (x +10) (x² + 3x + 2)

= (x +10) (x² + 2x + x + 2)

= (x +10) [x (x + 2) + 1 (x + 2)]

= (x + 10) (x + 2) (x + 1) उत्तर

(iv) 2y³ + y² – 2y – 1

उत्तर

दिया गया है, 2y³ + y² – 2y – 1

यहाँ नियत पद ab = 2 × (–1) = –2

अब –2 का गुणनखंड = ±1, ±2

अब मान लिया कि p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1

अत: p(–1) = 2y³ + y² – 2y – 1

= 2 (–1)³ + (–1)² – 2 (–1) – 1

= 2 × (–1) + 1 + 2 – 1

= –2 + 1 + 2 – 1

⇒ p(–1) = 0

चूँकि p(–1) = 0, अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (y + 1) दिये गये बहुपद p(y) का एक गुणनखंड है

अब 2y³ + y² – 2y – 1

= 2 y³ + 2y² – y² – y – y – 1

= 2 y² (y + 1) – y (y + 1) – 1 (y + 1)

= (y +1) (2y² – y – 1)

= (y + 1) (2 y² – 2 y + y – 1)

= (y + 1) [2y (y – 1) + 1 (y –1)]

= (y +1) (y –1) (2y + 1) उत्तर