बहुपद: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5
महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
(i) (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
(ii) (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy
(iii) x2 – y2 = (x + y) (x – y)
(iv) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(v) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
(vi) (x +y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)
(vii) (x +y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2
(viii) (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy (x – y)
(ix) (x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2
(x) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (1) उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x +4) (x +10)
हल
दिया गया है, (x +4) (x + 10)
हम जानते हैं कि, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
यहाँ a = 4 and b = 10
अत: a = 4 और b = 10 रखने पर हम पाते हैं कि
(x + 4)(x + 10)
= x2 + (4 + 10)x + 4 × 10
= x2 + 14x + 40 उत्तर
(ii) (x + 8)(x – 10)
हल
दिया गया है, (x + 8)(x – 10)
अत: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग कर गुणनफल = ?
हम जानते हैं कि, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
अब, (x +8)(x – 10)
= (x + 8)(x + (–10)]
अब, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab का उपयोग कर हम पाते हैं कि
x2 + [8 + (–10)]x + 8(–10)
= x2 + (8 –10) x – 80
= x2 + (–2)x – 80
= x2 – 2x – 80 उत्तर
(iii) (3x + 4)(3x – 5)
हल
दिया गया है, (3x + 4)(3x – 5)
अत: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग कर गुणनफल = ?
(3x + 4)(3x – 5)
= (3x + 4)[3x + (–5)]
सर्वसमिका (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab का उपयोग करने पर हम पाते हैं कि
(3x)2 + [4 + (–5)]3x + [4 × (–5)]
= 9x2 + (4 – 5) 3x + (–20)
= 9x2 + (–1)3x – 20
= 9x2 – 3x – 20 उत्तर
(iv) `(y^2+3/2)(y^2-3/2)`
हल
दिया गया है, `(y^2+3/2)(y^2-3/2)`
अत: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग कर गुणनफल = ?
हम जानते हैं कि, (a + b)(a – b) = a2 – b2
यहाँ a = y2 और b = `3/2`
अत:, `(y^2+3/2)(y^2-3/2)`
`=y^2-(3/2)^2`
`=y^2-9/4` उत्तर
(v) (3 – 2x)(3 + 2x)
हल
दिया गया है, (3 – 2x)(3 + 2x)
हम जानते हैं कि, (a + b)(a – b) = a2 – b2
यहाँ a = 3 और b = 2x है।
अत:, (3 – 2x)(3 + 2x)
= (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2 उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (2) सीधे गुणा किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 103 × 107
हल
दिया गया है, 103 × 107
= (100 + 3)(100 + 7)
हम जानते हैं कि, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
यहाँ x = 100, a = 3 और b = 7
अत: (100 + 3)(100 + 7)
= (100)2 + (3 + 7)100 + 3 × 7
= 10000 + 10 × 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21
= 11021 उत्तर
(ii) 95 × 96
हल
पहली विधिदिया गया है, 95 × 96
= (90 + 5)(90 +6)
Now, हम जानते हैं कि, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
यहाँ x = 90, a = 5 और b = 6
अत: (90 + 5)(90 +6)
= (90)2 + (5 + 6)90 + 5 × 6
= 8100 + (11 × 90) + 30
= 8100 + 990 + 30
= 9120 उत्तर
दूसरी विधि
दिया गया है, 95 × 96
= (100 – 5)(100 –4)
= [100 +(–5)][100 + (–4)]
हम जानते हैं कि, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
यहाँ x = 100, a = –5 और b = –4
अत: [100 +(–5)][100 + (–4)]
= (100)2 + [–5 +(–4)] 100 + [–5 (–4)]
= 10000 + (–5 –4)100 + 20
= 10000 + (–9)100 + 20
= 10000 – 900 + 20
= 10000 – 880
= 9120 उत्तर
(iii) 104 × 96
हल
दिया गया है, 104 × 96
= (100 + 4)(100 – 4)
हम जानते हैं कि, (a + b)(a –b) = a2 – b2
यहाँ a = 100 और b = 4
अत: a = 100 और b = 4 रखने पर हम पाते हैं कि
= (100)2 – (4)2
= 10000 – 16
= 9984 उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (3) उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2
हल
दिया गया है, 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2 × 3x × y + y2
यहाँ a = 3x और b = y
अत: सर्वसमिका (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि
(3x + y)2
= (3x +y)(3x +y) उत्तर
(ii) 4y2 – 4y + 1
हल
दिया गया है, 4y2 – 4y + 1
= (2y)2 – 2 × 2y × 1 + 12
Here, a = 2y और b = 1
अत: सर्वसमिका (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(2y – 1)2
= (2y – 1)(2y – 1) उत्तर
(iii) `x^2-y^2/100`
हल
दिया गया है, `x^2-y^2/100`
यहाँ a = x और y `=y^2/10`
अत: सर्वसमिका a2 – b2 = (a + b)(a – b) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
`x^2-y^2/100`
`= (x + y/10)(x – y/10)` उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (4) उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (9x + 2y + 4z)2
हल
(9x + 2y + 4z)2
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2zx
यहाँ x = 9x, y = 2y और z = 4z
अत: x = 9x, y = 2y और z = 4z रखने पर हम पाते हैं कि
(9x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2× 9x × 2y + 2 × 2y × 4z + 2 × 4z × 9x
= 81x2 + 4y2 + 16z2 + 36 xy + 16 yz + 72 zx उत्तर
(ii) (2x – y + z)2
हल
दिया गया है, (2x – y + z)2
= [2x + (–y) + z]2
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2zx
यहाँ x = 2x, y = –y और z = z
अत: x = 2x, y = –y और z = z रखने पर हम पाते हैं कि
(2x)2 + (–y)2 + z2 + 2 × 2x × (–y) + 2× (–y) × z + 2 z × (2x)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx उत्तर
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
हल
दिया गया है, (–2x + 3y + 2z)2
= [(–2x) + 3y + 2z2
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2zx
यहाँ x = –2x, y = 3y और z = 2z
अत: x = –2x, y = 3y और z = 2z रखने पर हम पाते हैं कि
(–2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(–2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(–2x)
= 4x2 + 9y2+ 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx उत्तर
(iv) (3a – 7b – c)2
हल
दिया गया है, (3a – 7b – c)2
= [3a + (– 7b) + (– c)]2
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
यहाँ x = 3a, y = – 7b और z = – c
अत: x = 3a, y = – 7b और z = – c रखने पर हम पाते हैं कि
[3a + (– 7b) + (– c)]2
= (3a)2 + (– 7b)2 + (– c)2 + 2(3a)(– 7b) + 2 (– 7b)(– c) + 2(– c)(3a)
= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ca उत्तर
(v) (– 2x + 5y – 3z)2
हल
दिया गया है, (– 2x + 5y – 3z)2
= [(– 2x) + 5y + (– 3z)]2
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
यहाँ x = – 2x, y = 5y और z = – 3z
अत: x = – 2x, y = 5y और z = – 3z रखने पर हम पाते हैं कि
[(– 2x) + 5y + (– 3z)]2
= (– 2x)2 + (5y)2 + (– 3z)2 + 2(– 2x)(5y) + 2(5y)(– 3z) + 2(– 3z)(– 2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx उत्तर
(vi) `[1/4a-1/2b+1]^2`
हल
दिया गया है, `[1/4a-1/2b+1]^2`
हम जानते हैं कि, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
यहाँ x = `1/4a`, `y = -1/2b` और z = 1
अत: x, y और z का मान रखने पर हम पाते हैं कि
`(1/4a)^2 + (-1/2b)^2+1^2` `+2(1/4a)(-1/2b)` `+2(-1/2b)xx1` `+2(1)(1/4a)`
`=1/16a^2+1/4b^2+1` `-1/4ab-b+1/2a` उत्तर
Reference: