बहुपद: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 भाग-2
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (5)गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
हल
दिया गया है, 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (– 2x)2 +(– 3y)2 + (4z)2 + 2(– 2x)(– 3y) + 2(– 3y)(4z) + 2(– 2x)(4z)
सर्वसमिका (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(– 2z – 3y +4z)2
= (– 2z – 3y +4z) (– 2z – 3y +4z) उत्तर
(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz
हल
दिया गया है, 2x2 + y2 + 8z2 – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz
= (– x√2)2 + y2 + (2z √2)2 + 2(– x√2)(y) + 2(y)(2z √2) – 2(– x√2)(2z √2)
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(– x√2 + y + 2z√2)2
= (– x√2 + y + 2z√2) (– x√2 + y + 2z√2) उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (6) निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए:
(i) (2x + 1)3
हल
दिया गया है, (2x + 1)3
यहाँ x = 2x और y = 1
हम जानते हैं कि, (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
अत: x = 2x और y = 1 रखने पर हम पाते हैं कि
(2x + 1)3
= (2x)3 + 13 + 3(2x)(1)(2x + 1)
= 8x3 + 1 + 6x(2x + 1)
= 8x3 + 1 + 12x2 + 6x
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1 उत्तर
(ii) (2a – 3b)3
हल
दिया गया है, (2a – 3b)3
यहाँ x = 2a और y = 3b है
हम जानते हैं कि, (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
अत: x = 2a और y = 3b रखने पर हम पाते हैं कि
(2a – 3b)3
= (2a)3 – 3(2a)2(3b) + 3(2a)(3b)2 – (3b)3
= 8a3 – 18a2b + 18ab2 – 9b3 उत्तर
(iii) `[3/2x+1]^3`
हल
दिया गया है, `[3/2x+1]^3`
यहाँ x = 3/2x और y = 1
हम जानते हैं कि, (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
अत: x = 3/2x और y = 1 रखने पर हम पाते हैं कि
अत: `27/8x^3+27/4x^2+9/2x+1` उत्तर
(iv) `[x-2/3y]^3`
हल
दिया गया है, `[x-2/3y]^3`
यहाँ x = x और y = 2/3y
हम जानते हैं कि, (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
अत: x = x और y = 2/3y रखने पर हम पाते हैं कि
अत: , `x^3-2x^2y-4/3xy^2-8/27y^3` उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (7) उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) (99)3
हल
दिया गया है, (99)3
= (100 – 1)3
सर्वसमिका (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(100 – 1)3
= (100)3 – (1)3 – 3(100)(1)(100 – 1)
=1000000 – 1 – 300(99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299 उत्तर
(ii) (102)3
हल
दिया गया है, (102)3
= (100 + 2)3
सर्वसमिका (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(100 + 2)3
= (100)3 + (2)3 + 3(100)(2)(100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (102)
= 1000008 + 61200
= 1061208 उत्तर
(iii) (998)3
हल
दिया गया है, (998)3
= (1000 – 2)3
सर्वसमिका (x – y)3 = x3 – y3 + 3xy(x – y) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(1000 – 2)3
= (1000)3 – (2)3 – 3(1000)(2)(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000(998)
= 1000000000 – 8 – 5988000
= 994011992 उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (8) निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
हल
दिया गया है, 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
= (2a)3 + b3 + 3(2a)2b + 3(2a)b2
सर्वसमिका (x + y)3 = x3+ y3 3x2y + 3xy2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(2a)3 + b3 + 3(2a)2b + 3(2a)b2
= (2a + b)3
= (2a +b)(2a + b)(2a + b) उत्तर
(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
हल
दिया गया है, 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 + (– b)3 + 3(2a)2(– b) + 3(2a)(– b)2
सर्वसमिका (x + y)3 = x3+ y3 3x2y + 3xy2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
[2a +(– b)]3
= (2a –b)3
= (2a – b)(2a – b)(2a – b) उत्तर
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
हल
दिया गया है, 27 – 125a3 – 135a + 225a2
=(3)3 + (– 5a)3 + 3(3)2(– 5a) + 3(3)(– 5a)2
यहाँ x = 3 और y = – 5a
अत: सर्वसमिका (x + y)3 = x3+ y3 3x2y + 3xy2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
[3 + (– 5a)]3
= (3 – 5a)3
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a) उत्तर
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
हल
दिया गया है, 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
= (4a)3 + (– 3b)3 + 3(4a)2(– 3b) + 3(4a)(– 3b)2
यहाँ x = 4a और y = – 3b
अत: सर्वसमिका (x + y)3 = x3+ y3 3x2y + 3xy2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
[4a + (– 3b)]3
= (4a – 3b)3
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b) उत्तर
(v) `27p^3-1/216-9/2p^2+1/4p`
हल
दिया गया है,
`27p^3-1/216-9/2p^2+1/4p`
`=(3p)^3 + (-1/6)^3` `+ 3(3p)^2(-1/6) + 3(3p)(-1/6)^2`
यहाँ x = 3p और y = – 1/6
अत: सर्वसमिका (x + y)3 = x3+ y3 3x2y + 3xy2 का उपयोग कर हम पाते हैं कि
[3p + (– 1/6)]3
= (3p – 1/6)3
= (3p – 1/6)(3p – 1/6)(3p – 1/6) उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (9) सत्यापित कीजिए:
(i) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
हल
दिया गया है, x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
बायाँ पक्ष = (x + y)(x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3
= x3 + y3
= दायाँ पक्ष प्रमाणित
(ii) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
हल
दिया गया है, x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
दायाँ पक्ष = (x – y)(x2 + xy + y2)
= x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
= x3 – y3
= बायाँ पक्ष प्रमाणित
Reference: