बहुपद: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 भाग-3
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (10) निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए
(i) 27y3 + 125z3
हल
दिया गया है, 27y3 + 125z3
= (3y)3 + (5z)3
सर्वसमिका x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy +y2) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(3y)3 + (5z)3
= (3y + 5z)[(3y)2 – 3y×5z + (5z)2]
= (3y + 5z)(9y2 – 15yz + 25z2) उत्तर
(ii) 64m3 – 343n3
हल
दिया गया है, 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
सर्वसमिका x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy) + y2) का उपयोग कर हम पाते हैं कि
(4m)3 – (7n)3
= (4m – 7n) [(4m)2 + 4m × 7n + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n2) उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (11) गुणनखंड कीजिए: 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
हल
दिया गया है, 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
= (3x)3 + y3 + z3 – 3(3x)yz
हम जानते हैं कि, x3 + y3 + z3 – 3xyz
अत: x = 3x, y = y और z = z रखने पर हम पाते हैं कि
(3x + y + z)[(3x)2 +y2 + z2 – 3xy – yz – zx]
= (3x + y + z)(9x2 + z2 + z2 – 3zy – yz – zx) उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (12) सत्यापित कीजिए x3 + y3 + z3 – 3xyz =1/2(x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हल
दिया गया है, x3 + y3 + z3 – 3xyz =1/2(x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
दायाँ पक्ष = 1/2(x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
= 1/2 ( x + y + z)(x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2zx)
= 1/2× [x(x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2zx) + y(x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2zx) + z(x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2zx)]
= 1/2×(x3 + x3 + y3 + y3 + z3 + z3 – 2x2y + x2y +x2y + xy2 + xy2 – 2xy2 + xz2 + xz2 – 2xz2 – 2x2z + x2z + x2z + yz2 +yz2 – 2yz2 – 2y2z + y2z + y2z – 2xyz – 2xyz – 2xyz)
= 1/2(2x3 + 2y3 + 2z3 – 2x2y + 2x2y + 2xy2 – 2xy2 + 2yz2 – 2yz2 – 2y2z + 2y2z – 2xyz – 2xyz – 2xyz)
= 1/2(2x3 + 2y3 + 2z3 – 6xyz)
`= 1/2xx2(x^3+y^3+z^3– 3xyz)`
= x3 + y3 + z3 – 3xyz
= बायाँ पक्ष प्रमाणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (13) यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है।
हल
दिया गया है, x + y + z = 0
अत: दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz
हम जानते हैं कि, x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
अब (x + y + z) =0 रखने पर [जैसा कि प्रश्न में दिया गया है] हम पाते हैं कि
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 × (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz प्रमाणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (14) वास्तव में घनों का परिकलन किये बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:
(i) (– 12)3 + (7)3 + (5)3
हल
दिया गया है, (– 12)3 + (7)3 + (5)3
मान लिया कि x = – 12, y=7 और z = 5
हम जानते हैं कि, x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
अत: x = – 12, y=7 और z = 5 रखने पर हम पाते हैं कि
(– 12)3 + (7)3 + (5)3 – 3(– 12)(7)(5) = (– 12 + 7 + 5) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ (– 12)3 + (7)3 + (5)3 – 3(– 12)(7)(5) = 0 (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ (– 12)3 + (7)3 + (5)3 – 3(– 12)(35) = 0
⇒ (– 12)3 + (7)3 + (5)3 + 36(35) = 0
⇒ (– 12)3 + (7)3 + (5)3 + 1260 = 0
⇒ (– 12)3 + (7)3 + (5)3 = –1260
= 1260 उत्तर
(ii) (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3
हल
दिया गया है, (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3
मान लिया कि x = 28, y = – 15 और z = – 13
हम जानते हैं कि, x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
अत: x = 28, y = – 15 और z = – 13 रखने पर हम पाते हैं कि
(28)3 + (– 15)3 + (– 13)3 – 3(28)(– 13)(– 15) = [28 + (– 13) + (– 15)] (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3 – 84(– 13)(– 15) = [28 – 13 – 15] (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3 – 84(195) = 0 (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
⇒ (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3 – 16380 = 0
⇒ (28)3 + (– 15)3 + (– 13)3 = 16380
= 16380 उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (15) नीचे दिये गये आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिये गये हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए:
(i) क्षेत्रफल: 25a2 – 35a + 12
हल
दिया गया है, आयत का क्षेत्रफल = 25a2 – 35a + 12
अत: लम्बाई और चौड़ाई = ?
अब 25a2 – 35a + 12
= 25a2 – 15a + 20a + 12
= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3)
= (5a – 3)(5a – 4)
अत: लम्बाई = (5a – 3) और चौड़ाई = (5a – 4) उत्तर
(ii) क्षेत्रफल: 35y2 + 13y – 12
हल
दिया गया है, आयत का क्षेत्रफल = 35y2 + 13y – 12
अत: लम्बाई और चौड़ाई = ?
अब 35y2 + 13y – 12
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: दिये गये आयत की लम्बाई और चौड़ाए = (7y – 3) और (5y + 4) उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.5 बहुपद क्लास नौवीं गणित का हल प्रश्न संख्या (16) घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिये गये हैं की, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?
(i) आयतन: 3x2 – 12
हल
दिया गया है, घनाभ का आयतन = 3x2 – 12x
अत: घनाभ की संभावित विमाएँ = ?
अब 3x2 – 12x
= 3x(4x – 3)
अत: घनाभ की संभावित विमाएँ = 3, x और (4x – 3) उत्तर
(ii) आयतन: 12ky2 + 8 ky – 20k
हल
दिया गया है, घनाभ का आयतन = 12ky2 + 8 ky – 20k
अत: दिये गये घनाभ की विमाएँ = ?
अब 12ky2 + 8 ky – 20k
= 4k (3y2 + 2y – 5)
= 4k (3y2 – 3y + 5y – 5)
= 4k [3y (y – 1) + 5(y – 1)]
= 4k (y – 1) (3y + 5)
अत: दिये गये घनाभ की संभावित विमाएँ = 4k, (y – 1) और (3y + 5) उत्तर
महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
(i) (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
(ii) (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy
(iii) x2 – y2 = (x + y) (x – y)
(iv) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(v) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
(vi) (x +y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)
(vii) (x +y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2
(viii) (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy (x – y)
(ix) (x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2
(x) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
Reference: