चतुर्भुज: 9 गणित: क्लास नौवीं गणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (5) दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पपर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।

हल

मान लिया कि PQRS दिया गया चतुर्भुज है।

और PR और QS इसके विकर्ण हैं।

और दिया गया है कि OP = OR और OS = OQ

तथा ∠POS = ∠ROP = ∠ROQ = ∠ROS = 90^o

अत: सिद्ध करना है कि PQRS is a square.

अर्थात प्रमाणित करना है कि

PQ=QR=RS=PS

और एक अंत: कोण = 90^o

ΔPOS और ΔQOP में,

OS = OQ

[चूँकि दिया गया है कि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]

∠POS = ∠QOP

[ प्रश्न के अनुसार]

और भुजा OP दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔPOS ≅ ΔQOP

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: PS = PQ - - - - (i)

अब ΔQOP और ΔROQ में

OP = OR

[चूँकि दिया गया है कि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]

∠QOP = ∠ROQ = 90^o

और भुजा OQ is दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है।

अतएव SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔQOP ≅ ΔROQ

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: PQ = QR - - - - - (ii)

उसी प्रकार त्रिभुज ROQ और ΔROS में,

OQ = OS

[चूँकि प्रश्न के अनुसार चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]

तथा ∠ROQ = ∠ROS = 90^o

[चूँकि प्रश्न के अनुसार चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।]

और भुजा OR दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है।

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से

ΔROQ ≅ Δ ROS

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: QR = RS - - - - (iii)

अत: समीकरण (i), समीकरण (ii) और समीकरण (iii) हम पाते हैं कि

PQ = QR = RS = PS (iv)

अब ΔPQS और ΔPRS में,

PQ = RS [समीकरण (iv) से]

और PR = QS [चूँकि प्रश्न के अनुसार विकर्ण बराबर हैं।]

और भुजा PS दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है।

अत: SSS (भुजा भुजा भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔPQS ≅ ΔPRS

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: ∠RSP = ∠QPS - - - - - (v)

अब चूँकि ∠RSP = ∠QPS, अत: PQ||SR

अब यहाँ PQ और SR दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें एक तिर्यक रेखा PS काटती है।

समांतर रेखाओं के एक प्रमेय के अनुसार जब कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत: कोण संपूरक होता है। इसका अर्थ है कि तिर्यक रेखा के एक ही बने अंत: कोणों का योग 180^o होता है।

अत: ∠RSP + ∠QPS = 180^o

⇒ ∠RSP + ∠RSP = 180^o

[ समीकरण (iv) में, ∠RSP = ∠QPS]

⇒ 2 ∠RSP = 180^o

⇒ ∠RSP = 180^o/2

⇒ ∠RSP = 90^o

अब चूँकि दिये गये चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, तथा एक कोण 90^o है, अत: दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (6) समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण ∠A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति). दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।

हल

दिया गया है ABCD एक समांतर चतुर्भुज.

और इसका विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है।

अत: ∠BAC = ∠CAD - - - - (i)

अत: सिद्ध करना है कि

(i) यह कोण ∠C भी समद्विभाजित करता है।

यहाँ चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज

अत: AB||DC और AD||BC

तथा DC = AB और AD = BC

अब चूँकि यहाँ तिर्यक रेखा AC दो समांतर रेखाओं AB और DC को काटती है।

अत: इनसे बने एकांतर अंत: कोण बराबर होंगे।

अर्थात, ∠CAD = ∠BCA - - - - (ii)

और ∠BAC = ∠ACD - - - - (iii)

⇒ ∠CAD = ∠ACD - - - - (iv)

[चूँकि समीकरण (i) से ∠BAC = ∠CAD]

अब समीकरण (ii) और समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

∠BCA = ∠ACD

अत: विकर्ण AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) ABCD एक समांतर चतुर्भुज

ΔACD में,

∠CAD = ∠ACD [समीकरण (iv) से]

चूँकि एक त्रिभुज में बराबर कोणो के सामने की भुजाएँ बराबर होती है,

अत: AD = CD - - - - (v)

अब चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज. और एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,

अर्थात AB = DC और AD = BC

अत: समीकरण (v) से

AD = CD = BC = AB

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, समचतुर्भुज कहलाती है,

अत: दिया गया समांतर चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (7) ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।

हल

दिया गया है ABCD एक समचतुर्भुज है।

जिसमें AC और BD इसके विकर्ण हैं

अत: सिद्ध करना है कि विकर्ण AC कोणों A और C को समद्विभाजित करता है।

और विकर्ण BD कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

अर्थात सिद्ध करना है कि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4

तथा ∠5 = ∠6 और ∠7 = ∠8

ΔABC में,

AB = BC

[चूँकि एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।]

चूँकि एक त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत: ∠2 = ∠3 - - - - (i)

अब AD||BC

[चूँकि एक समचतुभुज में सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं]

यहाँ चूँकि AD||BC और एक तिर्यक रेखा AC उन्हें काटती है, अत: इनसे बने हुए एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं।

अत: ∠2 = ∠4 - - - - (ii)

तथा ∠1 = ∠3 - - - - (iii)

अब समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं

∠3 = ∠4

और समीकरण (i) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

∠2 = ∠1

अत: विकर्ण AC कोणA तथा कोण C को समद्विभाजित करते हैं।

अब ΔABD में,

भुजा AB = भुजा AD

[चूँकि एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।]

और एक त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत: ∠6 = ∠8 - - - - - (iv)

अब चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: AB||CD

और एक तिर्यक रेखा BD इन दोनों समांतर रेखाओं AB और CD को काटती हैं, अत: इस प्रकार बने एकांतर अंत: कोण बराबर होंगे।

इसका अर्थ है ∠5 = ∠8 - - - - - (v)

तथा ∠6 = ∠7 - - - - - - (vi)

अब समीकरण (iv) और समीकरण (v) से हम पाते हैं कि

∠5 = ∠6

तथा समीकरण (iv) और समीकरण (vi) से हम पाते हैं कि

∠7 = ∠8

अत: विकर्ण AC कोण A तथा कोण C को और विकर्ण BD कोण B और कोण D को समद्विभाजित करते हैं। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (8) ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) ABCD एक वर्ग है (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

हल

As दिया गया है मान लिया कि ABCD दिया गया आयत है।

और AC और BD इसके विकर्ण हैं।

और विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करते हैं।

Then सिद्ध करना है कि

(i) ABCD एक वर्ग है।

चूँकि प्रश्न में दिया गया है ABCD एक आयत है,

अत: इस आयत में सम्मुख कोण बराबर होंगे।

अर्थात ∠A = ∠C

अत: `1/2/_A=1/2/_C`

⇒ ∠2 = ∠3

चूँकि एक त्रिभुज में, बराबर कोणों के सामने वाली भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: AB = BC - - - - (i)

अब प्रश्न के अनुसार ABCD एक आयत है और आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: AB = DC - - - - (ii)

और AD = BC - - - - - (iii)

अब समीकरण (i), समीकरण (ii) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

AB = BC = DC = AD

यहाँ चूँकि दिये गये आयत में सभी भुजाएँ बराबर हैं, अत: ABCD एक वर्ग है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करते हैं।

ΔABD में

AB = AD

[चूँकि ABCD एक वर्ग है प्रश्न एक खंड (i) में प्रमाणित किया गया है, और एक वर्ग की सभी भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं।]

चूँकि एक त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सामने वाले कोण बराबर होते हैं।

अत: ∠6 = ∠8 - - - - - (iv)

यहाँ चूँकि प्रश्न के अनुसार ABCD एक आयत है, और एक आयत में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती और समांतर होती हैं।

अत: यहाँ AB||DC और एक तिर्यक रेखा BD इन्हें काटती है अत: इसमें बने एकांतर अंत: कोण बराबर होंगे।

अर्थात ∠8 = ∠5 - - - - - (v)

तथा ∠6 = ∠7 - - - - (vi)

अब समीकरण (iv) और समीकरण (v) से हम पाते हैं कि

∠6 = ∠5

और समीकरण (iv) और समीकरण (vi) से हम पाते हैं कि

∠7 = ∠8

अत: विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करते हैं। प्रमाणित