चतुर्भुज: 9 गणित: क्लास नौवीं गणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (9) समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB

(ii) AP = CQ

(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD

(iv) AQ = CP

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज

हल

दिया गया है ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BD इसका विकर्ण है।

और इस विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि

DP = BQ

अत: सिद्ध करना है कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB

ΔAPD और ΔCQB में

AD = BC

[चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं, और यहाँ AD और BC दिये गये समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं अत: बराबर और समांतर हैं].

DP = BQ [प्रश्न के अनुसार].

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, अत: AD||BC.

यहाँ एक तिर्यक रेखा BD दो समांतर रेखाओं AD और BC को काटती है अत: इसमें बने एकांतर अंत: कोण आपस में बराबर होंगे।

अत: ∠PDA = ∠CBQ.

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से

Δ APD ≅ Δ CQB. प्रमाणित

(ii) AP =CQ.

अब चूँकि PDA ≅ Δ CQA.

[जैसा कि प्रश्न के खंड (i) में प्रमाणित किया गया है, समीकरण (i)]

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: AP = CQ प्रमाणित

(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD

AB = CD

[चूँकि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

DP = BQ [प्रश्न के अनुसार]

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, अत: AB||DC.

यहाँ एक तिर्यक BD दोनों समांतर रेखाओं AB और DC को काटती है, अत: एकांतर अंत: कोण आपस में बराबर होंगे।

अत: ∠CDP = ∠ABQ

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔAQB ≅ ΔCPD प्रमाणित

(iv) AQ = CP

चूँकि ΔAQB ≅ ΔCPD

[ऊपर प्रश्न के खंड (iii) में प्रमाणित किया गया है]

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: AQ = CP प्रमाणित

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न के खंड (ii) और (iv) के अनुसार

AP = CQ और AQ = CP

अर्थात APCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।

अत: APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (10) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) ΔAPB ≅ ΔCQD

(ii) AP = CQ

हल

दिया गया है ABCD एक समांतर चतुर्भुज और BD इसका विकर्ण है।

और AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं।

अत: सिद्ध करना है कि

(i) ΔAPB ≅ ΔCQD

त्रिभुजों APB और CQD में,

AB = DC

[चूँकि ये दिये गये समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं, और तदनुसार आपस में बराबर हैं।]

∠APB = ∠CQD = 90^o

[चूँकि प्रश्न के अनुसार AP और CQ विकर्ण BD पर लम्ब हैं।]

यहाँ AB||DC

[चूँकि ये दिये गये समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ है, और समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।]

और एक तिर्यक रेखा BD इन दो समांतर रेखाओं AB और CD को काटती है, अत: एकांतर अंत: कोण बराबर होंगे।

अत: ∠ABP = ∠CDQ

अत: AAS (कोण कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔAPB ≅ ΔCQD प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) AP = CQ

ΔAPB ≅ ΔCQD

[ प्रश्न के खंड (i) प्रमाणित]

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: AP = CQ प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (11) ΔABC और ΔDEF में, AP = DE, AB||DE, BC = EF और BC||EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति)।

दर्शाइए कि

(i) चतुर्भुजABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) AD||CF और AD = CF

(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) AC = DF

(vi) ΔABC ≅ ΔDEF

हल

दिया गया है ABC और DEF दो त्रिभुज हैं जिनमें

AB = DE, AB||DE

तथा BC = EF और BC||EF

शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से मिलाया गया है।

अत: सिद्ध करना है कि

(i) चतुर्भुजABED एक समांतर चतुर्भुज

चतुर्भुज ABED में,

जैसा कि दिया गया है AB|| ED

और AB = DE

यहाँ चूँकि दिये गये चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है,

तदनुसार सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म भी बराबर और समांतर होगा

अत: दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: ABED एक समांतर चतुर्भुज है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज

चतुर्भुज BEFC में,

BC||EF और BC = EF

चूँकि दिये गये चतुर्भुज BEFC में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है, अत: सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म भी समांतर और बराबर होगा।

अत: दिया गया चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (iii) AD||CF और AD = CF

चतुर्भुज ACFD में,

पश्न एक खंड (i) में प्रमाणित किया गया है कि ABED समांतर चतुर्भुज

अत: AD||BE - - - - - (i)

और AD = BE - - - - - (ii)

और प्रश्न के खंड (ii) में प्रमाणित किया गया है कि BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: BE||CF - - - - - (iii)

तथा BE = CF - - - - - (iv)

अब समीकरण (i) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

AD||CF

तथा समीकरण (ii) और समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

AD = CF

अत: AD||CF और AD = CF प्रमाणित

सिद्ध करना है कि that (iv) चतुर्भुजACFD is a समांतर चतुर्भुज

प्रश्न के खंड (iii) में यह प्रमाणित किया गया है कि AD||CF और AD = CF

चूँकि दिये गये चतुर्भुज ACFD में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है, अत: सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म भी समांतर और बराबर होगा।

अत: ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि that (v) AC = DF

प्रश्न के खंड (iv) में यह प्रमाणित किया गया है कि ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

और एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर होती हैं,

अत: AC = DF प्रमाणित

सिद्ध करना है कि that (vi) ΔABC ≅ ΔDEF

AB = DE और BC = EF [जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।]

और प्रश्न के खंड (v) में यह प्रमाणित किया गया है कि AC = DF

अत: SSS (भुजा भुजा भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔABC ≅ ΔDEF प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न संख्या (12) ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB||CD और AD = BC है (देखिए आकृति)

दर्शाइए कि

(i) ∠A = ∠B

(ii) ∠C = ∠D

(iii) ΔABC &cong: ΔBAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD

[संकेत : AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे]

हल

दिया गया है ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है

जिसमें AB||CD और AD = BC

बनाबट

प्रश्न में दिये गये संकेत के आधार पर AB को बढ़ाया गया।

और एक रेखा CE रेखा DA के समांतर खींची गयी।

अत: सिद्ध करना है कि

(i) ∠A = ∠B

यहाँ AD||CD [बनाबट के अनुसार]

और AB||DC [प्रश्न के अनुसार]

अत: ADCE एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: AD = CE - - - - - (i)

[चूँकि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

तथा AD = BC - - - - -(ii)

[ प्रश्न के अनुसार]

अत: समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

BC = CE - - - - - (iii)

चूँकि एक त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने वाले कोण बराबर होते हैं,

अत: ∠EBC = ∠CEB - - - - - (iv)

यहाँ एक तिर्यक रेखा AE दो समांतर रेखाओं AD और CE को काटती है, तथा इस प्रकार बने तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंत: कोण संपूरक हैं,

अत: ∠A + ∠CEB = 180^o

⇒ ∠A + ∠EBC = 180^o - - - - - (v)

[ समीकरण (iv) से ∠EBC = ∠CEB]

अब चूँकि ∠CBA और ∠EBC रैखिक रेखा के युग्म बनाते हैं

अत: ∠CBA + ∠ EBC = 180^o - - - - (vi)

समीकरण (v) और समीकरण (vi) से हम पाते हैं कि

∠A = ∠CBA

⇒ ∠A = ∠B प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) ∠C = ∠D

यहाँ प्रश्न के अनुसार AB||CD

और एक तिर्यक रेखा इन दोनों समांतर रेखाओं AB और CD को काटती है

और चूँकि जब कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के बने अंत: कोणों का योग 180^o होता है,

अत: ∠A + ∠D = 180^o - - - - - (vii)

और पुन: ∠B और ∠C तिर्यक रेखा BC के एक ही ओर के बने अंत: कोण हैं,

अत: ∠B + ∠C = 180^o

प्रश्न के खंड (i) में प्रमाणित किया गया है कि ∠A = ∠B.

अत: उपरोक्त ब्यंजक में ∠B = ∠A रखने पर हम पाते हैं कि

∠A + ∠C = 180^o - - - - - (viii)

समीकरण (vii) और समीकरण (viii) से हम पाते हैं कि

∠A + ∠C = ∠A + ∠D

⇒ ∠C = ∠D प्रमाणित

सिद्ध करना है कि that (iii) ΔABC ≅ ΔBAD

प्रश्न के अनुसार A और C और B और D को मिलाया गया

ΔABC और ΔBAD में,

BC = AD [प्रश्न के अनुसार]

∠A = ∠B [ प्रश्न के हल के खंड (i) में प्रमाणित]

और भुजा AB दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से,

ΔABC ≅ ΔBAD प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD

ΔABC ≅ ΔBAD

[प्रश्न के खंड (iii) में प्रमाणित]

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: AC = BD

अर्थात विकर्ण AC = विकर्ण BD प्रमाणित