चतुर्भुज: 9 गणित: क्लास नौवीं गणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (1) ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं (देखिए आकृति)। AC उसका विकर्ण है।

दर्शाइए कि

(i) SR||AC और SR = `1/2`AC

(ii) PQ = SR

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज

हल

दिया गया है ABCD एक चतुर्भुज है

और P, Q, R और S उस चतुर्भुज ABCD की भुजाओं क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं।

तथा AC विकर्ण है

अत: सिद्ध करना है कि

(i) SR||AC और SR =`1/2`AC

त्रिभुज ACD में,

बिंदु S और R भुजाओं AD और DC के मध्य बिंन्दु हैं।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर तथा आधा होता है।

अत: SR||AC - - - - - (i)

तथा SR = `1/2`AC - - - - (ii)

अत: SR||AC और SR = `1/2`AC प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) PQ = SR

त्रिभुज ABC में,

बिंदु P और Q क्रमश: भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर तथा आधा होता है।

PQ || AC - - - - - (iii)

तथा PQ = `1/2` AC - - - - - (iv)

अब समीकरण (ii) और समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

PQ = SR प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज

समीकरण (i) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

PQ||SR

तथा समीकरण (ii) और समीकरण (iv) हम पाते हैं कि

PQ = SR

अब चूँकि चतुर्भुज PQRS के आमने सामने की भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है,

अत: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (2) ABCD एक समचतुर्भुज है और और P, Q, R और S क्रम्श: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

हल

मान लिया कि ABCD दिया गया समचतुर्भुज है

और प्रश्न के अनुसार P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं।

अत: सिद्ध करना है कि PQRS एक आयत है।

इसका अर्थ है कि प्रमाणित करना है कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक कोण समकोण है।

त्रिभुज DBC में,

Q और R भुजाओं BC और CD के मध्य बिंदु हैं

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार

RQ||DB - - - - - - (i)

तथा RQ = `1/2`DB - - -- - (ii)

अब त्रिभुज ABD में,

P और S भुजाओं AB और AD के मध्य बिंदु हैं।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के के अनुसार

PS||DB - - - - - (iii)

तथा PS = `1/2`DB - - - - - (iv)

समीकरण (i) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

PS||RQ

तथा PS = RQ

चूँकि दिये गए समचतुर्भुज PQRS में आमने सामने की भुजाओं का एक युग्म आपस में बराबर और समांतर है, अत: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार ABCD एक समचतुर्भुज है,

अत: इसके विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

अर्थात ∠MON = 90^o

चतुर्भुज ONQM में,

चूँकि RQ||DB

अत: MQ||ON

अत: ONQM एक समांतर चतुर्भुज.

तथा ∠MON = ∠NQM

[चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

अब चूँकि समांतर चतुर्भुज PQRS में एक कोण समकोण है

अर्थात ∠NQM = ∠PQM = 90^o

अत: PQRS एक आयत है। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (3) ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R, और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

हल

मान लिया कि ABCD दिया गया आयत है।

जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA का मध्य बिंदु है।

अत: सिद्ध करना है कि PQRS एक समचतुर्भु है।

प्रमाण

त्रिभुज ABC में,

बिंदु P भुजा AB का मध्य बिंदु है।

तथा Q भुजा BC का मध्य बिंदु है।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर तथा आधा होता है।

अत:

PQ||AC - - - - - (i)

तथा PQ = `1/2`AC - - - - (ii)

तथा त्रिभुज ACD में,

बिंदु S भुजा AD का मध्य बिंदु है।

तथा R भुजा DC का मध्य बिंदु है।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार

SR||AC - - - - - (iii)

तथा SR = `1/2` AC - - - - - (iv)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

PQ||SR

तथा समीकरण (ii) और समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

PQ = SR - - - - (v)

चूँकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है, अत: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

इसका अर्थ है इस समांतर चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म भी बराबर और समांतर है।

अर्थात QR||PS

और QR = PS - - - - (vi)

त्रिभुज ABD में,

P और S भुजाओं AB और AD का मध्य बिंदु है।

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार

PS = `1/2`BD

⇒ PS = `1/2`AC - - - - (vii)

[चूँकि AD और BC आयत ABCD के विकर्ण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।]

समीकरण (ii) और समीकरण (vi) से हम पाते हैं कि

PS = PQ - - - - (viii)

अत: समीकरण (v), समीकरण (vi) और समीकरण (viii) से हम पाते हैं कि

PQ = QR = SR = PS

चूँकि समांतर चतुर्भुज PQRS में चारों भुजाएँ बराबर हैं, अत: PQRS एक समचतुर्भुज है। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (4) ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB||DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गयी ह ऐ, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य बिंदु है।

हल

दिया गया है ABCD एक समलम्ब है।

जिसमें AB||DC

और BD इसका विकर्ण है

बिंदु E भुजा AD का मध्य बिंदु है।

EF||AB

अत: सिद्ध करना है कि बिंदु F भुजा BC का मध्य बिंदु है।

प्रमाण

मान लिया कि रेखा EF भुजा BC को बिंदु O पर काटती है।

त्रिभुज ABE में,

बिंदु E भुजा AD का मध्य बिंदु है। [प्रश्न के अनुसार]

और EF||AB [प्रश्न के अनुसार]

अत: मध्य बिंदु प्रमेय जो कहता है कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है के अनुसार

बिंदु O भुजा BD को समद्विभाजित करती है।

चूँकि AB||DC और AB||EF

अत: EF||DC

[चूँकि समांतर रेखाओं से संबंधित एक प्रमेय के अनुसारवे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।]

अब त्रिभुज BCD में,

बिंदु O भुजा BD का मध्य बिंदु है [ऊपर प्रमाणित हो चुका है]

तथा EF||DC

अत: मध्य बिंदु प्रमेय जो कहता है कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है के अनुसार

OF भुजा BC को समद्विभाजित करती है।

अर्थात बिंदु F भुजा BC का मध्य बिंदु है। प्रमाणित