चतुर्भुज: 9 गणित: क्लास नौवीं गणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (5) एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य बिंदु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।

हल

दिया गया है ABCD एक समांतर चतुर्भुज.

E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य बिंदु हैं।

अत: सिद्ध करना है कि

रेखाखं AF और EC विकर्ण BD तीन बराबर भागों में बाँटते हैं।

अर्थात सिद्ध करना है कि DP = PQ = QB

प्रश्न के अनुसार चूँकि F भुजा DC का मध्य बिंदु है

अत: DF = FC

उसी प्रकार बिंदु E भुजा AB का मध्य बिंदु है (प्रश्न के अनुसार)

अत: AE = EB

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: DC||AB

अत: FC ||AE

अब चूँकि FC||AE और FC = AE

अत: चतुर्भुज AECF एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: AF||EC

[चूँकि AEFC एक समांतर चतुर्भुज]

अब त्रिभुज ABP में,

बिंदु E भुजा AB का मध्य बिंदु है। [प्रश्न के अनुसार]

तथा EQ||AP

[चूँकि AF||EC]

अत: मध्य बिंदु प्रमेय जो कहता है कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है के अनुसार

अत: बिंदु Q भुजा BP का मध्य बिंदु है।

अर्थात QB = PQ - - - - - (i)

अब त्रिभुज QCD में,

बिंदु F भुजा DC का मध्य बिंदु है। [प्रश्न के अनुसार]

तथा PF||QC

[चूँकि AF||EC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ है।)]

अत: मध्य बिंदु प्रमेय जो कहता है कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है के अनुसार

अत: बिंदु P भुजा DQ का मध्य बिंदु है।

अर्थात DP = PQ - - - - - (ii)

अब समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

DP = PQ = QB

अत: रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (6) दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

हल

मान लिया कि ABCD दिया गया चतुर्भुज है।

तथा E, F, G और H क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और AD के मध्य बिंदु हैं।

अत: सिद्ध करना है कि HF और EG एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

बिंदु A और C को मिलाया गया।

त्रिभुज ACD में,

H और G क्रमश: भुजाओं AD और DC के मध्य बिंदु हैं।

[दिया गया है]

मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर तथा आधा होता है।

अत: HG||AC - - - - - (i)

तथा HG = `1/2`AC - - - - - (ii)

त्रिभुज ABC में

E और F क्रमश: भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं [दिया गया है]

अत: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार

EF || AC - - - - - (iii)

तथा EF = `1/2` AC - - - - (iv)

समीकरण (i) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं कि

EF||HG

तथा समीकरण (ii) और समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

EF = HG

चूँकि चतुर्भुज EFGH में सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर हैं, अत: EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।

और चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,

अत: समांतर चतुर्भुज EFGH के विकर्ण HF और EG एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अत: किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। प्रमाणित

चतुर्भुज क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.2 प्रश्न संख्या (7) ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गयी रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि

(i) D भुजा AC का मध्य बिंदु है।

(ii) MD `_|_` AC

(iii) CM = MA = `1/2` AB

हल

मान लिया कि ABC दिया गया समकोण त्रिभुज है

जिसमें ∠C = 90^o

तथा M कर्ण AB का मध्य बिंदु है।

MD||BC

अत: सिद्ध करना है कि

(i) D भुजा AC का मध्य बिंदु है।

त्रिभुज ABC में

M भुजा AB का मध्य बिंदु है।

और MD ||BC

[दिया गया है]

अत: मध्य बिंदु प्रमेय जो कहता है कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है के अनुसार

अत: MD दिये गये त्रिभुज के तीसरे भुआ AC को समद्विभाजित करता है।

अर्थात CD = DA

अत: D भुजा AC का मध्य बिंदु है। प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (ii) MD `_|_` AC

AS दिया गया है BC||MD

और एक तिर्यक रेखा AC इन दोनो समांतर रेखाओं BC और MD को काटती है।

समांतर रेखाओं के एक प्रमेय जो कहता है कि यदि कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो इस प्रकार बने संगत कोणों के प्रत्येक युग्म बराबर होते हैं।

यहाँ, ∠BCD और MDA संगत कोणो के युग्म हैं अत: बराबर हैं

अर्थात ∠MDA = ∠BCD

⇒ ∠MDA = 90^o

[चूँकि ∠C is 90^o प्रश्न के अनुसार]

अत: `MD`_|_`AC प्रमाणित

सिद्ध करना है कि (iii) CM = MA = `1/2`AB

बिंदु M और C को मिलाया गया

त्रिभुज CDM और DAM में,

CD = DA

[चूँकि D भुजा AC का मध्य बिंदु है, जैसा कि खंड (i) में प्रमाणित किया गया है।]

∠CDM = ∠MDA = 90^o

[चूँकि MD भुजा AC पर लम्ब है, खंड (ii) में प्रमाणित]

तथा भुजा MD दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ (कॉमन) है

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसम नियम से

ΔCDM ≅ ΔDAM

अब CPCT के अनुसार हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं

अत: CM = MA - - - - (i)

चूँकि M भुजा AB का मध्य बिंदु है (प्रश्न के अनुसार)

अत: MA = `1/2`AB - - - (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

CM = MA = `1/2`AB प्रमाणित

सारांश: चतुर्भुज: क्लास 9 गणित का

(1) एक चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360^o होता है।

(2) समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

(3) एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(4) एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(5) एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(6) यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

(7) यदि एक चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हों, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

(8) यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

(9) यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

(10) एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। और इसका विलोम भी सत्य है।

(11) एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

(12) एक वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

(13) किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है।

(14) किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

(15) किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को एक क्रम में मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा बना चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।