पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

घन (क्यूब) क्या होता है?

घन (क्यूब) एक त्रिविमीय वस्तु होती है जिसमें छ: वर्गाकार फलक होते हैं। एक घन (क्यूब) के शीर्ष तीन फलकों के मिलने से बनता है। जैसे कि एक डाइस (पासा)। एक डाइस (पासा) घन का आदर्श उदाहरण है।

घन का क्षेत्रफल या घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

चूँकि एक घन (क्यूब) के छ: वर्गाकार फलक होते हैं, अत: एक वर्गाकार फलक के क्षेत्रफल को छ: से गुणा करने पर घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल या घन का क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

अब, एक वर्ग जिसका एक किनारा `a` है का क्षेत्रफल = a²

अत:, घन जिसका एक किनारा `a` है का क्षेत्रफल = 6 × a²

अत: घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 a²

घनाभ (क्यूब्याड)

एक घनाभ (क्यूब्याड) छ: आयताकार फलक वली एक त्रिवीमिय वस्तु होती है, जिसके होते हैं। ईंट और माचिस की डिब्बी घनाभ (क्यूब्याड) का आदर्श उदाहरण है।

घनाभ का शाब्दिक अर्थ है, वैसी वस्तु जिसका आकार घन के जैसा हो।

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल या घनाभ का क्षेत्रफल

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल या घनाभ का क्षेत्रफल = `2(lb + bh + hl)`

जहाँ `l` = लम्बाई, b = चौड़ाई, और 'h' = ऊँचाई है। इसका अर्थ है कि '`l`', 'b' और 'h' क्रमश: घनाभ के तीनों किनारे हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (1) 1.5 m लम्बा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए:

(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल

(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1m² शीट का मूल्य 20 रूपये है।

हल

दिया गया है

घनाभ की लम्बाई (`l`) = 1.5 m

घनाभ की चौड़ाई (b) = 1.25 m

तथा घनाभ की ऊँचाई (h) = 65 cm

⇒ h = 65/100 =0.65m

(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल

डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक के शीट के क्षेत्रफल की गणना

चूँकि दिया गया डब्बा ऊपर से खुला है,

अत: डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक के शीट का क्षेत्रफल = घनाभ के 4 सतहों का क्षेत्रफल + घनाभ के निचले सतह का क्षेत्रफल

`= 2h(l+b) + lxxb`

=2×0.65 m (1.5 m + 1.25 m)+ 1.5 m× 1.25 m

=1.3 m × 2.75 m+1.875 m²

= 3.575 m² + 1.875 m²

= 5.45 m²

अत: दिये गये डिब्बे को बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = 5.45 m² उतर

(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1m² शीट का मूल्य 20 रूपये है।

डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक के शीट के मूल्य की गणना

चूँकि जैसे कि प्रश्न में दिया गया है, 1m² प्लास्टिक शीट का मूल्य = Rs 20

अत: डब्बा बनाने के लिए आवश्यक 5.45 m² प्लास्टिक शीट का मूल्य

= Rs 20 × 5.45

अत: दिये गये डिब्बे को बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक के शीट का मूल्य = 109.00 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (2) एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 5 m, 4 m और 3 m हैं। 7.50 रूपये प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, कमरे की लम्बाई (`l`) = 5 m

कमरे की चौड़ाई (b) = 4 m

तथा कमरे की ऊँचाई (h) =3 m

सफेदी कराने की दर = 7.50 रूपये प्रति m²

अत: कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय = ?

कमरे की चारों दीवारों और छत, जिनकी सफेदी कराया जाना है, के क्षेत्रफल की गणना

कमरे के आयताकार चारों दीवारों और छत का क्षेत्रफल = `2h (l+b)+lxxb`

= 2 × 3 m (5 m + 4 m)+5 m × 4 m

= 6 m × 9 m +20 m²

=54 m²+20 m²

= 74 m²

अत: दिये गये कमरे की चारों दीवार और छत का क्षेत्रफल = 74 m²

सफेदी कराने के व्यय की गणना

प्रश्न के अनुसार सफेदी कराने का 1 m² दर = 7.50 रूपया

अत: 74 m² क्षेत्रफल को सफेदी कराने का व्यय

= 74 × 7.50

= 555.00 रूपये

अत: दिये गये कमरे को सफेदी कराने का व्यय = 555.00 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (3) किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि 10 रूपये प्रति m² की दर से चारों दीवारों को पेंट कराने की लागत 15000 रूपये है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

[संकेत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल =पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]

हल

दिया गया है, दिये गये आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप = 250 m

चारों दीवारों को पेंट कराने की लागत = 15000 रूपये

दीवारों को पेंट कराने की दर = 10 रूपये प्रति m²

अत: हॉल की ऊँचाई = ?

हम जानते हैं कि, दीवारों को पेंट कराने की लागत = दर प्रति मीटर × क्षेत्रफल

⇒ क्षेत्रफल = कुल लागत/पेंट कराने की दर

= 15000/10

अत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 1500 m²

अब प्रश्न के अनुसार, आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप = 250 m

`=>2(l+b)=250m`

[∵ चूँकि परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)]

अब जैसा कि ऊपर में गणना की गई है, चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 1500 m²

⇒ हॉल का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1500 m²

[जैसा कि संकेत में दिया गया है चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]

⇒ 2(l+b) h = 1500 m²

[∵ एक घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2(l+b)h`]

⇒ 250 m × h = 1500 m²

⇒ h = 1500/250

⇒ h = 6 m

अत: दिये गये हॉल की ऊँचाई (h) = 6 m उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (4) किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?

हल

[इस प्रश्न को हल करने की योजना : डिब्बे के पेंट से पेंट हो सकने वाले कुल पर्याप्त क्षेत्रफल को ईंट के कुल क्षेत्रफल से भाग देने पर ज्ञात की जा सकती है।]

दिया गया है,

डिब्बे के पेंट से पेंट हो सकने वाला पर्याप्त कुल क्षेत्रफल = 9.375 m²

ईंट की लम्बाई = 22.5 cm

= 22.5/100 = 0.225 m

ईंट की चौड़ाई = 10 cm

= 10/100 = 0.1 cm

ईंट की ऊँचाई = 7.6 cm

=7.6/100 = 0.075 cm

[चूँकि पेंट हो सकने वाला कुल पर्याप्त क्षेत्रफल वर्ग मीटर में दिया गया है, इसलिए ईंट की विमाओं को मीटर में परिणत किया गया है।]

अब घनाभ के आकार के ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2(l b + b h + h l)`

= 2 [(0.225 m × 0.1 m) + (0.1 m × 0.075 m) + (0.075 m × 0.225 m)]

= 2 (0.0225 m² + 0.0075 m² + 0.01678 m²)

= 2 × 0.046875 m²

= 0.09375 m²

अब प्रश्न के अनुसार, डिब्बे के पेंट से पेंट हो सकने वाला कुल क्षेत्रफल = 9.375 m²

तथा एक ईंट का कुल क्षेत्रफल = 0.09375 m²

अत: ईंटों की संख्या = पेंट हो सकने वाला कुल क्षेत्रफल / ईंट का क्षेत्रफल

अत: ईंटों की संख्या = 9.373/0.09375

`= (9375 xx 100)/9375` = 100 ईंट

अत: दिये गये पेंट से पेंट हो सकने वाले कुल ईंटो की संख्या = 100 उत्तर