पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (5) एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 12.5cm, 10 cm और 8 cm हैं।

(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अदिक है और कितना अधिक है?

हल

दिया गया है, घनाकार डिब्बे के एक किनारे की लम्बाई = 10 cm

घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई = 12.5 cm

घनाभाकार डिब्बे की चौड़ाई = 10 cm

घनाभाकार डिब्बे की ऊँचाई = 8 cm

(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?

दिये गये घनाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 4 l^2`

अत: दिये गये घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 × (10 cm)²

= 4 × 100 cm²

= 400 cm²

दिये गये घनाभाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि एक घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2 h (l +b)`

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 8 cm (10 cm + 12.5 cm)

= 16 cm × 22.5 cm

= 360 cm²

यहाँ यह स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल से अधिक है।

अत: घनाकार डिब्बे तथा घनाभाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर = 400 cm² – 360 cm²

= 40 cm²

अत: घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल से 40 cm² अधिक है। उत्तर

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अदिक है और कितना अधिक है??

दिये गये घनाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = `6l^2`

अत: दिये गये घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 6 × (10 cm)²

= 6 × 100 cm²

= 600 cm²

अत: दिये गये घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600 cm²

दिये गये घनाभाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि एक घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2(lb + bh + hl)`

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 [(12.5 cm × 10 cm) + (12.5 cm × 8 cm) + (10 cm × 8 cm)]

= 2 (125 cm² + 100 cm² + 80 cm²)

= 2 × 305 cm²

= 610 cm²

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 610 cm²

यहाँ यह स्पष्ट है कि दिये गये घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अधिक

अब घनाभाकर डिब्बे और घनाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में अन्तर

= 610 cm² – 600 cm²

= 10 cm²

अत: घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से 10 cm² बड़ा है। उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (6) एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर भी बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लम्बा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।

(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?

हल

दिया गया है,

पौधा घर की लम्बाई = 30 cm

पौधा घर की चौड़ाई = 25 cm

पौधा घर की ऊँचाई = 25 cm

अत: (i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?

यहाँ पौधे घर का क्षेत्रफल उसमें उपयोग किये गये कुल शीशे की पट्टियों के क्षेत्रफल के बराबर है।

हम जानते हैं कि

एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2(lb + bh + hl)`

अत: दिये गये घनाभाकर पौधे घर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 [(30 cm × 25 cm) + (25 cm × 25 cm) + (30 cm × 25 cm)]

= 2 (750 cm² + 625 cm² + 750 cm²)

= 2 × 2125 cm²

= 4250 cm²

अत: पौधे घर का कुल क्षेत्रफल = पौधे घर में प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = 4250 cm²

अत: पौधे घर में प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = 4250 cm² उत्तर

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?

अब कुल 12 किनारों की लम्बाई = सभी 12 किनारों के लिए आवश्यक टेप की लम्बाई

पौधे घर के सभी 12 किनारों की लम्बाई `= 4h + 4b + 4l`

`= 4 (h + b + l)`

= 4 (30 cm + 25 cm + 25 cm)

= 4 × 80 cm

= 320 cm

अत: सभी 12 किनारों के लिए आवश्यक टेप की लम्बाई = 320 cm उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (7) शांति स्वीट स्टॉल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापें के डिब्बे की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बे की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बों की माप 15 cm × 12cm ×5cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlap) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रूपये प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनबाने की कितनी लागत आयेगी?

हल

बड़े डिब्बों के लिए गणना

दिया गया है, बड़े डिब्बों की माप

लम्बाई = 25 cm

चौड़ाई = 20 cm

और ऊँचाई = 5 cm

हम जानते हैं कि एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2 ( bl +bh + hl)`

अत: दिये गये बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 [(25 cm × 20 cm) + (20 cm × 5 cm) + (25 cm × 5 cm)]

= 2 (500 cm² + 100 cm² + 125 cm²)

= 2 × 725 cm²

= 1450 cm²

अत: दिये गये बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1450 cm²

अब, बड़े डिब्बों को बनाने में 5% अतिव्यापिकता (overlap) के लिए कार्डवोर्ड की आवश्यकता

= एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल + एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5%

अत: एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% =

`=1450 cm^2 + (1450 cm^2 xx5)/100`

= 1450 cm² + 5 × 14.5 cm²

= 1450 cm² + 72.5 cm²

= 1522.5 cm²

अत: एक बड़ा डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 1522.5 cm²

अत: 250 बड़ा डिब्बा बनाने के लिए कुल आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल

= 250 × 1522.5 cm²

= 380625 cm²

अत: 250 बड़ा डिब्बा बनाने के लिए कुल आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 380625 cm²

छोटे डिब्बे के लिए गणना

दिया गया है,

छोटे डिब्बों की लम्बाई = 15 cm

छोटे डिब्बों की चौड़ाई = 12 cm

छोटे डिब्बों की ऊँचाई = 5 cm

अब हम जानते हैं कि एक घनाभाकार का कुल क्षेत्रफल `= 2 ( bl + bh + hl)`

अत: दिये गये छोटे डब्बे का कुल क्षेत्रफल

= 2 (15 cm × 12 cm + 12 cm × 5 cm + 5 cm × 15 cm)

= 2 (180 cm² + 60 cm² + 75 cm²)

= 2 × 315 cm²

= 630 cm²

अत: दिये गये एक डब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 630 cm²

अब प्रश्न के अनुसार प्रत्येक डब्बे को बनाने में 5% अतिव्यापिकता (overlap) के लिए कार्डवोर्ड की आवश्यकता

= एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल + एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5%

अत: एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% =

अत: एक छोटे डब्बे को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल

= एक छोटे डब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल + एक छोटे डब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5%

`= 630 cm^2 + 5/100 xx 630cm^2`

= 630 cm² + 5 × 6.3 cm²

= 630 cm² + 31.5 cm²

= 661.5 cm²

अत: एक छोटे डब्बे को बनाने के लिए कुल कार्डबोर्ड की आवश्यकता = 661.5 cm²

अब 250 छोटे डब्बे को बनाने के लिए कार्डबोर्ड की आवश्यकता

= 250 × 661.5 cm²

= 165375 cm²

अत: 250 छोटे डब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 165375 cm²

अब सभी छोटे और बड़े डब्बों को बनाने के लिए लगने वाला कार्डबोर्ड

= 250 बड़े डब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल + 250 छोटे डब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल

= 380625 cm² + 165375 cm²

= 546000 cm²

अत: सभी डब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 546000 cm²

कार्डबोर्ड के मूल्य की गणना

प्रश्न के अनुसार प्रति 1000 cm² कार्डबोर्ड के लिए लागत है 4 रूपया।

अत: सभी डिब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत

`= 546000 cm^2xx (4/(1000cm^2))`

= 2184 रूपये

अत: सभी डब्बों को बनाने के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत = 2184 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.1 प्रश्न संख्या (8) परबीन अपनी कार खड़ी करने लिए, एक संदूक के प्रकार के ढ़ाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढ़क ले (सामने वाला फलक लटका गुआ होगा जिसे घुमाकर ऊप्र किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त kapaD_aa नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और 2.5 मीटर वाले इस ढ़ाँचे को बनाने कई लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

हल:

दिया गया है,

ढ़ाँचे की लम्बाई = 4 cm

ढ़ाँचे की चौड़ाई = 3 m

ढ़ाँचे की ऊँचाई = 2.5 m

अत: दिये गये ढ़ाँचे को बनाने के लिए आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = ?

दिये गये ढ़ाँचे को बनाने के लिए आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = ढ़ाँचे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार को छोड़कर

ढ़ाँचे का कुल क्षेत्रफल आधार को छोड़कर

`= lb + 2lh + 2bh`

= (4 m × 3 m) + (2 × 4 m × 2.5 m) + (2 × 3 m × 2.5 m)

= 12 m² + 20 m² + 15 m²

= 47 m²

अत: दिये गये ढ़ाँचे को बनाने के लिए आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = 47 m² उत्तर