पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

महत्वपूर्ण सूत्र

बेलन का आयतन = वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

⇒ बेलन का आयतन

= ℼ r² h

जहाँ, r = बेलन के आधार की त्रिज्या और h = बेलन की ऊँचाई

एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.6 के प्रश्न और उत्तर

Assume `pi=22/7`, unless stated otherwise.

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (1) एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और इसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000cm³ = 1 लीटर)

हल

दिया गया है, बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm

और बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 25 cm

अत: बर्तन में कितना पानी आ सकता है?

बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या की गणना

हम जानते हैं कि, एक वृत्त की परिधि

= 2 ℼ r

अत: दिये गये बर्तन के आधार की परिधि,

⇒ 132 cm = 2 × `22/7` × r

`=>r = (132 cm xx7)/44`

⇒ r = 3 cm xx 7

⇒ r = 21 cm

अत: दिये गये बर्तन के आधार की त्रिज्या (r) = 21 cm

अब, हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन `=22/7xx(21cm)^2\xx25cm`

`=22/7xx21cmxx21cmxx25cm`

= 22 × 3 cm × 21cm × 25 cm

= 66 cm × 25 cm

= 34650 cm³

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन = 34650 cm³ = बर्तन में आ सकने वाले पानी की मात्रा

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन में आ सकने वाले पानी की मात्रा

= 34650 cm³

अब हम जानते हैं कि, 1000 cm³ = 1 लीटर

अत:, 1 cm³ `=1/1000` लीटर

अत: 34650 cm³ `=1/1000xx34650` लीटर

= 34.65 लीटर

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन में आ सकने वाले पानी की मात्रा

= 34.65 लीटर उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (2) लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लम्बाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 g है।

हल

दिया गया है लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास = 24 m

अत: दिये गये बेलनाकार पाइप की त्रिज्या (r) = 24/2 = 12 cm

तथा दिये गये बेलनाकार पाइप का बाहरी व्यास = 28 cm

अत: दिये गये बेलनाकार पाइप की बाहरी त्रिज्या (R) = 28/2 = 14 cm

तथा दिये गये पाइप की लम्बाई = 35 cm

तथा दिये गये 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 g

अत: दिये गये लकड़ी के बेलनाकार पाइप का द्रव्यमान = ?

अब दिये गये बेलनकार लकड़ी के पाइप का आयतन = दिये गये बेलनाकार लकड़ी के पाइप का बाहरी आयतन – दिये गये लकड़ी के बेलनाकार पाइप का आंतरिक आयतन

= ℼ R² h – ℼ r² h

= ℼ h (R² – r²)

= `22/7` × 35cm ((14cm)² – (12cm)²)

= 22 × 5 cm(196 cm² – 144 cm²⁾

= 110 cm × 52 cm²

= 5720 cm³

अत: दिये गये बेलनाकार पाइप में उपयोग किये गये लकड़ी का आयतन

= 5720 cm³

अब चूँकि 1 cm³ पाइप में लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 gm

अत: 5720 cm³ पाइप में लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 gm × 5720

= 3432 gm or 3.432 kg

अत: दिये गये पाइप का द्रव्यमान = 3432 gm or 3.432 kg उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (3) एक सॉफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है :‌– (i) लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। दिस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?

हल

दिया गया है

आयताकार टिन के डब्बे के डब्बे के लिए

आयताकार टिन के डब्बे की लम्बाई = 5 cm,

आयताकार टिन के डब्बे की चौड़ाई = 4 cm

और आयताकार टिन के डब्बे की ऊँचाई = 15 cm

प्लास्टिक के बेलनाकार डब्बे के लिए

बेलनाकार डब्बे के आधार का व्यास = 7 cm

अत: बेलनाकार डब्बे के आधार की त्रिज्या (r) = 7/2 cm

तथा बेलनाकार प्लास्टिक के डब्बे की ऊँचाई = 10 cm

अत: किस डब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?

आयताकार टिन के डब्बे के लिए गणना

हम जानते हैं कि, एक धनाभ का आयतन `= lbh`

अत: दिये गये आयताकार टिन के डब्बे का आयतन

= 5 cm × 4 cm × 15 cm

= 20 cm² × 15 cm

= 300 cm³

अत: दिये गये आयताकार टिन के डब्बे का आयतन = 300 cm³

बेलनाकार प्लास्टिक के डब्बे के लिए गणना

हम जानते हैं कि एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलनाकार डब्बे का आयतन `=22/7xx(7/2cm)^2 xx 10 cm`

`= 22/7xx7/2cmxx7/2cmxx10cm`

= 11 × × 1 cm × 7 cm× 5 cm

= 77 cm² × 5 cm

= 385 cm³

अत: दिये गये प्लास्टिक के बेलनाकार डब्बे का आयतन

= 385 cm³

अत: यह स्पष्ट है कि प्लास्टिक के बेलनाकार डब्बे का आयतन अधिक है

तथा दोनों दिये गये प्लास्टिक के बेलनाकार डब्बा और टिन के आयताकार डब्बा के आयतन में अंतर

= 385 – 300 cm³

= 85 cm³

अत: प्लास्टिक के बेलनाकार डब्बे का आयतन टिन के आयताकार डब्बे के आयतन से 85 cm³ अधिक है। उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (4) यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए (i) आधार की त्रिज्या (ii) बेलन का आयतन (ℼ = 3.14 लीजिए)

हल

दिया गया है बेलन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल = 94.2 cm²

तथा बेलन की ऊँचाई = 5 cm

और, ℼ = 3.14

अत: दिये गये बेलन के आधार की त्रिज्या और बेलन का आयतन = ?

(i) आधार की त्रिज्या

हम जानते हैं कि, एक बेलन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 2 ℼ r h

अत: दिये गये बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 3.14 × r × 5cm

⇒ 94.2 cm² = 6.28 × r × 5 cm

⇒ 94.2 cm² = 31.4 cm   r

`=>r = (94.2 cm^2)/(31.4 cm)`

⇒ r = 3 cm

अत: दिये गये बेलन के आधार की त्रिज्या

= 3 cm उत्तर

(ii) बेलन का आयतन

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलन का आयतन

= 3.14 × (3 cm)² × 5 cm

= 3.14 × 9 cm² × 5 cm

= 3.14 × 45 cm³

= 141.3 cm³

अत: दिये गये बेलन का आयतन

= 141.3 cm³

अत: दिये गये बेलन के आधार की त्रिज्या = 3 cm और दिये गये बेलन का आयतन = 141.3 cm³ उत्तर