पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (5) 10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रूपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रूपये प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए

(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) आधार की त्रिज्या

(iii) बर्तन की धारिता

हल

दिया गया है पेंटिंग का कुल व्यय = 2200 रूपये

तथा पेंट करने की दर = 20 रूपये प्रति m²

और बेलन की गहराई अर्थात ऊँचाई (h) = 10 m

अत: (i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) आधार की त्रिज्या (iii) और बर्तन की धारिता = ?

(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अब दिये गये बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = पेंटिग का कुल व्यय / पेंटिग की दर

= 2200/20

= 110 m²

अत: दिये गये बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 m² उत्तर

(ii) बर्तन के आधार की त्रिज्या

हम जानते हैं कि, एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r h

अत: दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × r × 10 m

⇒ 110 m² = 2 × `22/7` r × 10 m

`=>r = (110m^2xx7)/(2xx22xx10m)`

⇒ r = 7/4 m = 1.75 m

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या

= 1.75 m उत्तर

(iii) बर्तन की धारिता

यहाँ बर्तन की धारिता = बर्तन का आयतन

हम जानते हैं कि एक बेलन का आयतन

= ℼ r^{2 h}

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन

= `22/7` × (1.75 m)² × 10 m

= `22/7` × 1.75 m × 1.75 m × 10 m

= 22 × 0.25 m × 1.75 m × 10 m

= 5.5 m × 17.5 m²

= 96.25 m³ or 96.25 kl

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन

= 96.25 m³ या 96.25 किलोलीटर उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (6) ऊँचाई 1 m बाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?

हल

दिये गये बेलनाकार बर्तन के आयतन की गणना

दिया गया है बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 1m

तथा बेलनाकार बर्तन की धारिता = 15.4 लीटर

अत: दिये गये बर्तन को बनाने के लिए धातु के शीट की आवश्यकता (धातु के शीट का क्षेत्रफल) = ?

यहाँ दिये गये बेलनाकार बर्तन की धारिता = बेलनाकार बर्तन का आयतन

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, बेलनाकार बर्तन की धारिता

= 15.4 लीटर

अब चूँकि 1000 लीटर = 1 m³

अत: `1\ l = (1 m^3)/1000`

अत: `15.4 \ l =1/1000xx15.4\ m^3`

= 0.0154 m³

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन

= 0.015 m³

दिये गये बेलनाकार बर्तन के त्रिज्या की गणना

हम जानते हैं कि बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन

= ℼ r² 1 m

⇒ 0.0154 m³ = `22/7` r² m

`=>r^2= (0.0154xx7)/22`

`=>r=sqrt(0.0049m^2)`

⇒ r = 0.07 m

दिये गये बेलनाकार बर्तन को बनाने के आवश्यक धातु के शीट के क्षेत्रफल की गणना

यहाँ दिये गये बेलनाकार बर्तन को बर्तन को बनाने के लिए आवश्यक धातु के शीट का क्षेत्रफल = दिये गये बेलनाकार बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r (r + h)

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 0.07 m (0.07 m + 1 m)

= 2 × 22 × 0.01 m × 1.07 m

= 44 × 0.0107 m²

=0.4708 m²

अत: दिये गये बर्तन को बनाने के लिए आवश्यक धातु के शीट का क्षेत्रफल

= 0.4708 m² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (7) सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गयी है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है बेलनाकार पेंसिल का व्यास = 7 mm

अत: बेलनाकार पेंसिल की त्रिज्या (R)

= 7/2 mm = 3.5 mm

= 3.5/10 cm = 0.35 cm

अत: बेलनाकार पेंसिल की त्रिज्या = 0.35 cm

और पेंसिल के भीतर के बेलनाकार ग्रेफाइट का व्यास व्यास = 1mm

अत: बेलनाकार ग्रेफाइट की त्रिज्या (r)

= 1/2 mm

= 1/20 cm = 0.05 cm

अत: बेलनाकार ग्रेफाइट की त्रिज्या (r) = 0.05 cm

और पेंसिल की लम्बाई अर्थात ऊँचाई (h) = 14 cm

अत: पेंसिल में उपयोग किये गये लकड़ी और ग्रेफाइट का आयतन = ?

बेलनाकार ग्रेफाइट के आयतन की गणना

यहाँ ग्रेफाइट की त्रिज्या = 0.05 cm

और पेंसिल की ऊँचाई अर्थात ग्रेफाइट की ऊँचाई (क्योंकि ग्रेफाइट पेंसिल के भीतर है और पेंसिल के ऊँचाई का ही है) = 14 cm

अब हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: पेंसिल के अंदर के ग्रेफाइट का आयतन

= `22/7` × (0.05 cm)² × 14 cm

= 22 × 0.0025 cm² × 2 cm

= 22 × 0.0050 cm³

= 0.11 cm³

अत: पेंसिल के अंदर के ग्रेफाइट का आयतन

= 0.11 cm³

पेंसिल में उपयोग किये गये लकड़ी का आयतन

यहाँ पेंसिल की त्रिज्या = 0.35 cm

और पेंसिल की ऊँचाई = 14 cm

अब, हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलनाकार पेंसिल का आयतन

= `22/7` × (0.35 cm)² × 14 cm

= 22 × 0.1225 cm² × 2 cm

= 5.39 cm³

अत: पेंसिल का आयतन

= 5.39 cm³

अब पेंसिल में उपयोग किये गये लकड़ी का आयतन = पूरे पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन

= 5.39 cm³ – 0.11 cm³

= 5.28 cm³

अत: पेंसिल में उपयोग किये गये लकड़ी का आयतन = 5.28 cm³

अत: पेंसिल में उपयोग किये गये लकड़ी का आयतन = 5.28 cm³ और ग्रेफाइट का आयतन = 0.11 cm³ उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.6  प्रश्न संख्या (8) एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?

हल

दिया गया है व्यास बेलनाकार कटोरे का व्यास = 7 cm

अत: दिये गये बेलनाकार कटोरे की त्रिज्या = 7/2 cm = 3.5 cm

और बेलनाकार कटोरे में भरे जाने वाले सूप की ऊँचाई, अर्थात बेलनाकार कटोरे की वह ऊँचाई जिसे गणना में लिया जाना है = 4 cm

और कुल रोगियों की संख्या जिनके लिए प्रतिदिन सूप बनाया जाता है = 250

अत: दिये गये सभी रोगियों के लिए प्रतिदिन तैयार किये जाने वाले सूप का कुल आयतन = ?

बेलनाकार कटोरे में भरे जाने वाले सूप के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये एक बेलनाकार कटोरे में भरे जाने वाले सूप का आयतन

= `22/7` × (3.5 cm)² 4 cm

= `22/7` × 3.5 cm × 3.5 cm × 4 cm

= 22 × 0.5 cm × 3.5 cm × 4 cm

= 22 × 1.75 cm² × 4 cm

= 22 × 7 cm³

= 154 cm³

अत: एक रोगी के लिए बनाये जाने वाले सूप का आयतन

= 154 cm³

कुल 250 रोगियों के लिए बनाये जाने वाले सूप का आयतन

अब चूँकि एक रोगी के लिए सूप का आयतन = 154 cm³

अत: कुल 250 रोगियों के लिए सूप का आयतन = 154 cm³ × 250

= 38500 cm³

अत: अस्पताल द्वारा प्रतिदिन सभी रोगियों के लिए तैया किये जाने वाले सूप का आयतन = 38500 cm³ उत्तर