पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.7
महत्वपूर्ण सूत्र
लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`) `=sqrt(h^2+r^2)`
जहाँ, `l` = तिर्यक ऊँचाई, r = आधार की त्रिज्या और h = शंकु की ऊँचाई
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.7 के प्रश्न और उत्तर
जब तक अन्यथा न कहा जाय `pi=22/7` लीजिए
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.7 के प्रश्न एवं उनके हल
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7 प्रश्न संख्या (1) उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm, ऊँचाई 7 cm है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm, ऊँचाई 12 cm है।
हल
(i) त्रिज्या 6 cm, ऊँचाई 7 cm है।
दिया गया है, एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 6 cm
और उस लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 7 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = ?
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3xx22/7` × 6 cm × 6 cm × 7 cm
= 22 × 2 cm × 6 cm × 1 cm
= 44 cm × 6 cm2
= 264 cm3
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= 264 cm3 उत्तर
(ii) त्रिज्या = 3.5 cm, ऊँचाई = 12 cm है।
दिया गया है एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 3.5 cm
और उस लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 12 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = ?
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3xx22/7` × (3.5 cm)2 × 12 cm
= `1/3xx22/7` × 3.5 cm × 3.5 cm × 12
= 22 × 0.5 cm × 3.5 cm × 4 cm
= 22 × 1.75 cm2 × 4 cm
= 22 × 7 cm3
= 154cm3
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= 154 cm3 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7 प्रश्न संख्या (2) शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm, तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
(ii) ऊँचाई 12 cm, तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
हल(i)
(i) त्रिज्या 7 cm, तिर्यक ऊँचाई 25 cm
दिया गया है एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 7 cm
तथा उस लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 25 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता लीटर में = ?
दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता = उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
यहाँ चूँकि आयतन की गणना के लिए शंकु की ऊँचाई ज्ञात होना आवश्यक है, अत: आयतन की गणना से पूर्व शंकु के ऊँचाई को ज्ञात किया जाना आवश्यक है
हम जानते हैं कि, एक लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई, त्रिज्या और ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं
अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसा
[एक लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]2
= (ऊँचाई)2 + (त्रिज्या)2
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(25 cm)2 = (h)2 + (7 cm)2
⇒ 625 cm2 = h2 + 49 cm2
⇒ h2 = 625 cm2 – 49 cm2
⇒ h2 = 576 cm2
अत: `h=sqrt(576 cm^2)`
⇒ h = 24 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 24 cm
अब हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3xx22/7` × 7 cm × 7 cm × 24 cm
= 22 × 1 cm × 7 cm × 8 cm
= 22 × 56 cm3
= 1232 cm3
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 1232 cm3
अब चूँकि 1000 cm3 = 1 लीटर
अत: 1232 cm3 `= 1/1000 xx1232` लीटर
=1.232 लीटर
अत: दिये गये शंकु की धारिता = 1.232 लीटर उत्तर
(ii) ऊँचाई = 12 cm, तिर्यक ऊँचाई 13 cm
दिया गया है लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 12 cm
और, दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु तिर्यक ऊँचाई = 13 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता लीटर में = ?
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`
चूँकि यहाँ शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए उसकी ऊँचाई, तिर्यक ऊँचाई और शंकु के आधार की त्रिज्या का ज्ञात रहना आवश्यक है, अत: आयतन की गणना से पूर्व शंकु के आधार की त्रिज्या की गणना आवश्यक है।
यहाँ, हम जानते हैं कि, एक लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, तिर्यक ऊँचाई और त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,
अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
[ लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]2 = (त्रिज्या)2 + (ऊँचाई)2
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(13 cm)2 = r2 + (12 cm)2
⇒ 169 cm2 = r2 + 144 cm2
⇒ r2 = 169 cm2 – 144 cm2
⇒ r2 = 25 cm2
`=> r = sqrt(25 cm^2)`
⇒ r = 5 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 5 cm
अब दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r2 h
= `1/3xx22/7` × 5 cm × 5 cm × 12 cm
= `22/7` × 25 cm2 × 4 cm
`= 2200 /7\ cm^3` - - - - -(i)
अब चूँकि 1000 cm3 = 1 लीटर
अत: 2200/7 cm3 `= 1/1000xx2200/7` Litre
`=22/10xx1/7 = 11/35` Litre
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता
= 11/35 लीटर या 0.314286 लीटरउत्तर
वैकल्पिक तरीका समीकरण (i) के अनुसार
दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता =2200/7 cm3
= 314.286 cm3
अब चूँकि 1000 cm3 = 1 Litre
अत: 314.286 cm3 `= 1/1000xx314.286` Litre
= 0.314286 Litre
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की धारिता = 0.314286 लीटर उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7 प्रश्न संख्या (3) एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm3 है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (ℼ = 3.14 प्रयोग कीजिए)
हल
दिया गया है शंकु की ऊँचाई = 15 cm
और शंकु का आयतन = 1570 cm3
और, ℼ = 3.14
अत: दिये गये शंकु के आधार की त्रिज्या = ?
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r2 h
अत: दिये गये शंकु का आयतन,
1570 cm3 = `1/3` × 3.14 × r2 × 15 cm
⇒ 1570 cm3 = 3.14 × r2 × 5 cm
⇒ 1570 cm3 = r2 × 15.70 cm
`=>r^2 = (1570 cm^3)/(15.70)`
⇒ r2 = 100 cm2
अत:, `r = sqrt(100 cm^2)`
⇒ r = 10 cm
अत: दिये गये शंकु की त्रिज्या = 10 cm उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7 प्रश्न संख्या (4) यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 ℼ cm3 है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है, लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई (h) = 9 cm
और उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 48 ℼ cm3
अत: दिय गये लम्ब वृत्तीय शंकु का व्यास =?
हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3` ℼ r2 h
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3` ℼ r2 × 9 cm
⇒ 48 ℼ cm3 = `1/3` ℼ r2 × 9 cm
⇒ 48 ℼ cm3 = ℼ r2 × 3 cm
`=>r^2 = (48\ pi\ cm^3)/(3cm xx pi)`
⇒ r2 = 16 cm2
अत: `r=sqrt(16 cm^2)`
⇒ r = 4 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 4 cm
अब चूँकि व्यास = 2r
⇒ दिये गये शंकु का व्यास = 2 × 4 cm
⇒ व्यास = 8 cm
अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार का व्यास
= 8 cm उत्तर
Reference: