पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7  प्रश्न संख्या (5) ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गढ़्ढ़ा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है?

हल

दिया गया है, शंकु के आकार के गढ़्ढ़े का व्यास (d) = 3.5 m

अत: शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की त्रिज्या (r) = 3.5/2 = 1.75 m

तथा शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की गहराई (h) = 12 m

अत: दिये गये शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की धारिता किलोलीटर में = ?

यहाँ शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की धारिता = शंकु के आकार के गढ़्ढ़े का आयतन

हम जानते हैं कि एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंकु के आकार के गढ़्ढ़े का आयतन

= `1/3xx22/7` × (1.75 m)² × 12 m

= `1/3xx22/7` × 1.75 m × 1.75 m × 12 m

= 22 × 0.25 m × 1.75 m × 4 m

= 22 × 1.75 m³

= 38.5 m³

अत: दिये गये शंकु के आकार के गढ़्ढ़े का आयतन = 38.5 m³

दिये गये शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की धारिता

अब चूँकि 1 m³ = 1 किलोलीटर

अत: 38.5 m³ = 38.5 किलोलीटर

अत: दिये गये शंकु के आकार के गढ़्ढ़े की धारिता

= 38.5 लीटर उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7  प्रश्न संख्या (6) एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए:

(i) शंकु की ऊँचाई

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल

दिया गया है, शंकु का आयतन = 9856 cm³

तथा शंकु का व्यास = 28 cm

अत: दिये गये शंकु की त्रिज्या = 28/2 = 14 cm

(i) शंकु की ऊँचाई

हम जानते हैं कि एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंकु का आयतन

= 9856 cm³ = `1/3xx22/7` × 14 cm × 14 cm × h

⇒ 9856 cm³ × 3 = 22 × 2 cm × 14 cm × h

⇒ 9856 cm³ × 3 = 22 × 28 cm² × h

`=> h = (9856 cm^3xx3)/(22xx28cn^2)`

⇒ h = 16 cm × 3

⇒ h = 48 cm

अत: शंकु की ऊँचाई = 48 cm उत्तर

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

हम जानते हैं कि,

(शंकु की तिर्यक ऊँचाई)² = (त्रिज्या)² + (height)²

⇒ [तिर्यक ऊँचाई (`l`)]² = (14 cm)² + (48 cm)²

⇒ `l` = 196 cm² + 2304 cm²

⇒ `l`² = 2500 cm²

`=>l = sqrt(2500cm^2)`

⇒ `l` = 50 cm

अत: दिये गये शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm उत्तर

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=\ pi\ r\ l`

तथा दिये गये शंकु की = 14 cm

(∵ प्रश्न के अनुसार शंकु का व्यास = 28 cm)

तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm

[जैसा प्रश्न के खंड (ii) में गणना की गयी है]

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= `22/7` × 14 cm × 50 cm

= 22 × 2 cm × 50 cm

= 22 × 100 cm²

= 2200 cm²

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2200 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7  प्रश्न संख्या (7) भुजाओं 5 cm, 12 cm, और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ = 5 cm, 12 cm and 13 cm

हम जानते हैं कि, एक समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है।

अत: यहाँ कर्ण = 13 cm, और आधार = 12 cm और ऊँचाई = 5 cm

अब प्रश्न के अनुसार दिये गये समकोण त्रिभुज को उसकी 12 cm वाली भुजा के परित: घुमाया जाता है

अत: इस प्रकार समकोण त्रिभुज को किसी भुजा के परित: घुमाने पर एक शंकु का निर्माण होगा।

अत: इस बने हुए लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 5 cm

और शंकु की ऊँचाई (h) = 12 cm

और शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 13 cm

अत: इस प्रकार प्राप्त ठोस अर्थात शंकु का आयतन = ?

हम जानते हैं कि एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: प्रश्न में प्राप्त शंकु का आयतन

= `1/3` × ℼ × (5 cm)² × 12 cm

= ℼ × 5 cm × 5 cm × 4 cm

= ℼ 100 cm³ - - - - (i)

= `22/7` × 100 cm³

= 314.285 cm³

अत: प्रश्न में बने शंकु का आयतन

= ℼ 100 cm³ or 314.285 cm³ उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7  प्रश्न संख्या (8) यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित: घुमाया जाये, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किये गये दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न संख्या (7) में दिये गये समकोण त्रिभुज ABC की भुजाएँ क्रमश: 5 cm, 12 cm और 13 cm हैं।

अब प्रश्न के अनुसार इस दिये गये समकोण त्रिभुज को उसकी भुजा 5 cm के परित: घुमाया जाता है, जिससे एक ठोस शंकु प्राप्त होगा।

अत: इस प्रकार प्राप्त ठोस शंकु का आयतन = ?

तथा प्रश्न 7 और इस प्रश्न 8 में प्राप्त दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात = ?

यहाँ चूँकि प्रश्न के अनुसार दिये गये समकोण त्रिभुज को उसकी भुजा 5 cm के परित: घुमाया जाता है।

अत: इस प्रकार प्राप्त ठोस शंकु की ऊँचाई = 5 cm

तथा इस ठोस शंकु के आधार की त्रिज्या = 12 cm

हम जानते हैं कि, एक शंकु का आयतन `=1/3\ pi\ r^2\ h`

अत: इस प्रश्न में दिये गये शंकु का आयतन = `1/3` ℼ × (12 cm)² × 5 cm

= `1/3` ℼ 12 cm × 12 cm × 5 cm

= ℼ 4 cm × 12 cm × 5 cm

= ℼ 240 cm³ - - - - (i)

`=22/7xx240` cm³

= 754.285 cm³

अत: इस प्रश्न में प्राप्त ठोस शंकु का आयतन

= ℼ 240 cm³ या 754.285 cm³

अब प्रश्न संख्या (7) में प्राप्त ठोस का आयतन = ℼ 100 cm³

अत: प्रश्न संख्या (7) और इस प्रश्न संख्या (8) में प्राप्त शंकु के आयतनों का अनुपात

`=(pi\ 100 cm^3)/(pi\ 240\ cm^3)`

= 100/240 = 5/12

= 5: 12

अत: इस प्रश्न में प्राप्त ठोस शंकु का आयतन = ℼ 240 cm³ या 754.285 cm³ तथा प्रश्न 7 और इस प्रश्न 8 में प्राप्त शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 5:12 उत्तर

i.e. आयतन = ℼ 240 cm³ or 754.285 cm³ तथा अनुपात = 5:12 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.7  प्रश्न संख्या (9) गेंहू के एक ढ़ेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढ़ेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढ़का जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, शंकु के आकार वाली ढ़ेरी का व्यास = 10.5 m

अत: इस शंक्वाकार ढ़ेरी की त्रिज्या = 10.5/2 m = 5.25 m

तथा शंक्वाकार ढ़ेरी की ऊँचाई = 3 m

अत: दिये गये शंक्वाकार ढ़ेरी का आयतन तथा उसे ढ़के जाने के लिए वांछित केनवास का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंकु के आकार वाली गेहूँ की ढ़ेरी का आयतन

= `1/3xx22/7` × 5.25 m × 5.25 m × 3 m

= 22 × 0.75 m × 5.25 m × 1 m

= 22 × 3.7375 m³

= 86.625 m³

अत: दिये गये शंकु के आकार वाली गेहूँ के ढ़ेरी का आयतन = 86.625 m³

अब इस शंक्वाकार ढ़ेरी को वर्षा से बचाने के लिए आवश्यक केनवास का क्षेत्रफल = इस शंक्वाकार ढ़ेरी के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक शंकु के वक्र पृष्ठ का `=pi\ r\ l`

यहाँ दिये गये शंक्वाकार ढ़ेरी की त्रिज्या (r) = 5.25 m

तथा शंकु के आकार वाली ढ़ेरी की ऊँचाई (h) = 3 m

यहाँ शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसके तिर्यक ऊँचाई का ज्ञात होना आवश्यक है।

हम जानते हैं कि,

[एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]² =(त्रिज्या)² + (ऊँचाई)²

⇒ (तिर्यक ऊँचाई)² = (3 m)² + (5.25 m)²

⇒ (तिर्यक ऊँचाई)² = 9 m ² + 27.5625 m²

⇒ (तिर्यक ऊँचाई)² = 36.5625 m²

⇒ तिर्यक ऊँचाई `=sqrt(36.5625 m^2)`

⇒ तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 6.05 m

अब चूँकि एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = ℼ r `l`

अत: दिये गये शंकु के आकार वाली गेहूँ के ढ़ेरी के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= `22/7` × 5.25 m × 6.05 m

= 22 × 0.75 m × 6.05 m

= 22 × 4.5375 m²

= 99.825 m²

अत: दिए गये शंकु के आकार वाली गेहूँ के ढ़ेरी को ढ़कने के लिए आवश्यक केनवास का क्षेत्रफल = 99.825 m²

अत: दिये गये शंक्वाकार ढ़ेरी का आयतन = 86.625 m³ और उसे ढ़कने के लिए वांछित केनवास का क्षेत्रफल = 99.825 m² उत्तर