पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

महत्वपूर्ण सूत्र

गोले का आयतन `=4/3\pi\ r^3`

अर्धगोले का आयतन `=2/3\ pi\ r^3`

NCERT Exercise 13.8 Questions and Answers

जब तक अन्यथा न कहा जाय, ℼ = 22/7 लीजिए।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8  प्रश्न संख्या (1) उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:

(i) 7 cm

(ii) 0.63 m

हल

(i) 7 cm

दिया गया है, गोले की त्रिज्या = 7 cm

अत: दिये गये गोले का आयतन = ?

हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3 xx 22/7` × 7 cm × 7 cm × 7 cm

= `4/3` × 22 × 49 cm³

`=4312/3` cm³

= 1437.3 cm³

अत: दिये गये गोले का आयतन = 1437.3 cm³ उत्तर

(ii) त्रिज्या = 0.63 m

दिया गया है, गोले की त्रिज्या = 0.63 m

अत: दिये गये गोले का आयतन = ?

हम जानते हैं कि एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3xx22/7` × 0.63 m × 0.63 m × 0.63 m

= 4 × 22 × 0.09 m × 0.21 m × 0.63 m

= 88 × 0.011907 m³

= 1.047816 m³

≃ 1.05 cm³

अत: दिये गये गोले का आयतन ≃ 1.05 cm³ उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8  प्रश्न संख्या (2) उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गये (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है

(i) 28 cm

(ii) 0.21 m

हल

(i) व्यास 28 cm वाले गोले द्वारा विस्थापित किये गये पानी का आयतन

दिया गया है, गोले का व्यास = 28 cm

अत: दिये गये गोले की त्रिज्या = 28/2 = 14 cm

अत: दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = ?

यहाँ, दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = गोले का आयतन

हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3xx22/7` × 14 cm × 14 cm × 14 cm

= `4/3xx22` × 2 cm × 14 cm × 14 cm

= 11498.66 cm³

अत: दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = 11498.66 cm³ उत्तर

(ii) व्यास = 0.21 m

अत: दिये गये गोले की त्रिज्या = 0.21/2 = 0.105 m

अत: दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = ?

यहाँ, दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = गोले का आयतन

हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3xx22/7` × 0.105 m × 0.105 m × 0.105 m

= 4 × 22 × 0.035 m × 0.015 m × 0.105 m

= 88 × 0.000055125 m³

= 0.004851 m³

अत: दिये गये गोले द्वारा हटाये गये पानी का आयतन = 0.004851 m³ उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8  प्रश्न संख्या (3) धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, धातु के गेंद का व्यास = 4.2 cm

अत: इस धातु के गेंद की त्रिज्या = 4.2/2 = 2.1 cm

तथा इस धातु का घनत्व = 8.9 g/cm³

अत: दिये गये गेंद का द्रव्यमान = ?

हम जानते हैं कि एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3xx22/7` × 2.1 cm × 2.1 cm × 2.1 cm

= 4 × 22 × 0.7 cm × 0.3 cm × 2.1 cm

= 88 × 0.441 cm³

= 38.808 cm³

अब, हम जानते हैं कि द्रव्यमान (Mass) = आयतन × घनत्व

अत: दिये गये धातु के गेंद का द्रव्यमान

= 38.808 cm³ × 8.9 g/cm³

= 345.3912 g ≃ 345.39 g

अत: दिये गये धात्विक गेंद का द्रव्यमान ≃ 345.39 g उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8  प्रश्न संख्या (4) चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन सी भिन्न है?

हल

दिया गया है, चंद्रमा का व्यास = पृथ्वी के व्यास का 1/4

अत: चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन सी भिन्न है?

मान लिया कि चंद्रमा का व्यास = 2r

अत: चंद्रमा की त्रिज्या = r

अत: प्रश्न के अनुसार चंद्रमा का व्यास = पृथ्वी के व्यास का 1/4

इसका अर्थ है कि पृथ्वी का व्यास = चन्द्रमा का व्यास × 4

अत: पृथ्वी का व्यास = 4 × 2r = 8r

अत: पृथ्वी की त्रिज्या = 8r/2 = 4r

हम जानते हैं कि एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: चंद्रमा का आयतन

= `4/3` ℼ r³

तथा पृथ्वी का आयतन

= `4/3` ℼ (4r)³

= `4/3` ℼ 64 r³

अब चंद्रमा और पृथ्वी के आयतन का भिन्न अर्थात अनुपात

= चंद्रमा का आयतन /पृथ्वी का आयतन

`= (4/3xxpi\ r^3)/(4/3xxpi\ 64\ r^3)`

= 1/64

अत: चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का 1/64 है। उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8  प्रश्न संख्या (5) व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?

हल

दिया गया है, एक अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास = 10.5 cm

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या = 10.5/2 = 5.25 cm

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे में आने वाले दूध की मात्रा लीटर में = ?

हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन `=2/3\ pi\ r^3`

अत: दिये गये अर्धगोलाकार का आयतन

= `2/3xx22/7` × 5.25 cm × 5.25 cm × 5.25 cm

= 2 × 22 × 1.75 cm × 0.75 × 5.25 cm

= 44 × 6.890625 cm³

= 303.1875 cm³

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन = 303.1875 cm³

अत: दिये गये कटोरे में आने वाले दूध की मात्रा = 303.1875 cm³

अब चूँकि 1000 cm³ = 1`l`

अत: 1 cm³ = 1/1000 `l`

अत: 303.1875 cm³ दूध

`= 303.1875/1000\ l`

= 0.3031875 `l`

≃ 0.303 `l`

अत: दिये गये कटोरे में आ सकने वाले दूध की मात्रा = लगभज 0.303 लीटर उत्तर