पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न 6-10
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न संख्या (6) एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोएटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है, लोहे की चादर की मोटाई = 1 cm = 0.01 m
तथा इस लोहे की चादर से बने अर्धगोलाकार पानी के टंकी की आंतरिक त्रिज्या (r) = 1 m
अत: टंकी की बाहरी त्रिज्या (R) = आंतरिक त्रिज्या + लोहे की चादर की मोटाई
⇒ R = 1 m + 0.01 m = 1.01 m
अत: इस दिये गये टंकी को बनाने में लगे लोहे की चादर का आयतन = ?
हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन `=2/3\ pi\ r^3`
तथा दिये टंकी को बनाने में लगे लोहे के चादर का आयतन
= पूरी टंकी का आयतन – टंकी का आंतरिक आयतन
अत: पानी की टंकी को बनाने में लगे लोहे की चादर का आयतन = 0.06348 m3 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न संख्या (7) उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm2 है।
हल
दिया गया है, गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm2
अत: दिये गये गोले का आयतन = ?
Now, हम जानते हैं कि, एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 ℼ r2
अत: दिये गये गोले की त्रिज्या = 3.5 cm
अब, हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 × ℼ r3
अत: दिये गये गोले का आयतन
= `4/3xx22/7` × 3.5 cm × 3.5 cm × 3.5 cm
= 179.66 cm3
अत: दिये गये गोले का आयतन = 179.66 cm3 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न संख्या (8) किसी भवन का गुम्बद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 रूपये व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2.00 रूपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए
(i) गुम्बद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अंदर की हवा का आयतन
हल
दिया गया है, अर्धगोलाकार गुम्बद को सफेदी कराने का व्यय = 498.96 रूपये
तथा सफेदी कराने की दर = 2 रूपए प्रति वर्ग मीटर
अत: दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और गुम्बद के अंदर की हवा का आयतन = ?
(i) गुम्बद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
यहाँ गुम्बद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = सफेदी कराने का कुल व्यय /सफेदी कराने की दर
= 498.96/2
= 249.48 m2
अत: दिये गये गुम्बद के आंतरिक वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 249.48 m2 उत्तर
(ii) गुम्बद के अंदर की हवा का आयतन
यहाँ इस प्रश्न के खंड (i) में की गयी गणना के अनुसार दिये गये अर्धगोले का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 m2
अब, हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2\ pi\ r^2`
अत: दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
⇒ r = 6.2939 m
⇒ r ≃ 6.3 m
अत: दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद की आंतरिक त्रिज्या = 6.3 m
अब, हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन `=2/3\ pi\ r^3`
अत: दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद का आयतन
= `2/3xx22/7` × 6.3 m × 6.3 m × 6.3 m
= 2 × 22 × 2.1 × 0.9 × 6.3 m3
= 44 × 11.907 m2
= 523.908 m3
अब दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद के अंदर की हवा का आयतन = दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद का आंतरिक आयतन
= 523.908 m3
अत: दिये गये अर्धगोलाकार गुम्बद के अंदर की हवा का आयतन = 523.908 m3 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न संख्या (9) लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S' है। ज्ञात कीजिए
(i) नये गोले की त्रिज्या r'
(ii) S और S' का अनुपात
हल
दिया गया है, पिघलाए गये छोटे गोलों की संख्या = 27
तथा एक छोटे गोले की त्रिज्या = r
तथा छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
तथा पिघलाकर बनाये गये बड़े गोले की त्रिज्या = r'
तथा पिघलाकर बनाये गये बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S'
अत: बड़े गोले की त्रिज्या (r') और छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और बड़े गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल S' का अनुपात = ?
(i) नये गोले की त्रिज्या r'
हम जानते हैं कि गोले का आयतन `=4/3 ℼ r3
यहाँ प्रश्न के अनुसार
27 छोटे गोलों का आयतन = एक बड़े गोले का आयतन
⇒ 27 × `4/3` ℼ r 3 = `4/3` ℼ r'3
⇒ 27 r3 = r'3
⇒ (3 r)3 = r'3
⇒ 3 r = r'
अत: नये गोले की त्रिज्या (r') = 3 r उत्तर
(ii) S और S' का अनुपात
हम जानते हैं कि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 ℼ r2
अत: दिये गये बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S') = 4 ℼ r'2
⇒ S' = 4 ℼ (3r)2
[चूँकि r' = 3 r]
⇒ S' = 4 ℼ 9 r2 - - - - (i)
अत: छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 4 ℼ r2
⇒ S = 4 ℼ (r)2 - - - - (ii)
अब छोटे गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) और बड़े गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल (S') का अनुपात
= S : S'
= 4 ℼ (r)2 : 4 ℼ 9 r2
= 1 : 9
अत: S और S' का अनुपात = 1 : 9 उत्तर
दूसरी विधि (शॉर्ट कट विधि)
दिया गया है, पिघलाए गये छोटे गोलों की संख्या = 27
तथा एक छोटे गोले की त्रिज्या = r
तथा छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
तथा पिघलाकर बनाये गये बड़े गोले की त्रिज्या = r'
तथा पिघलाकर बनाये गये बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S'
अत: बड़े गोले की त्रिज्या (r') और छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और बड़े गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल S' का अनुपात = ?
(i) नये गोले की त्रिज्या r'
यहाँ दिया गया है बड़े गोले और छोटे गोले के आयतन का अनुपात = 27 : 1
हम जानते हैं कि, गोले की त्रिज्याओं का अनुपात उनके आयतनों के तृतीय वर्गमूल (घनमूल) के अनुपात में होता है। अर्थात त्रिज्याओं के घनों का अनुपात उनके आयतनों के अनुपात के बराबर होता है।
अत: दिये गये गोलों के त्रिज्याओं का अनुपात = (3)3 : (1)3
⇒ अत: दिये गये गोलों के त्रिज्याओं का अनुपात = 3 : 1
अब चूँकि छोटे गोले की त्रिज्या = r
और यहाँ, r = 1
तथा, r' = 3 है
अत: बड़े गोले की त्रिज्या (r') = 3 r उत्तर
(ii) S और S' का अनुपात
हम जानते हैं कि, गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = r2 : r'2
अत: S : S' = (r)2 : (3r)2
= r2 : 9 r2
= 1 : 9
अत: छोटे गोले और बड़े गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 9 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.8 प्रश्न संख्या (10) दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm3 में) की आवश्यकता होगी?
हल
दिया गया है, गोलाकार दवाई के कैपसूल का व्यास = 3.5 mm
अत: दिये गये कैपसूल की त्रिज्या (r) = 3.5/2 = 1.75 mm
अत: इस दिये गये कैपसूल को भरने के लिए mm3 में दवाई की आवश्यकता = ?
यहाँ कैपसूल को भरने के लिए आवश्यक दवाई का आयतन = दिये गये गोलाकार कैपसूल का आयतन
हम जानते हैं कि, गोले का आयतन = 4/3 ℼ r3
अत: दिये गये गोलाकार कैपसूल का आयतन
= `4/3xx22/7` × (1.75 mm)3
= `4/3xx22/7` × 1.75 × 1.75 × 1.75 mm3
= `4/3` × 22 × 0.25 × 1.75 × 1.75 mm3
`=4/3xx16.84375` mm3
= 67.375/3 mm3
= 22.4583 mm3
अत: दिये गये गोलाकार कैपसूल को भरने के लिए दवाई का आयतन = 22.4583 mm3 उत्तर
Reference: