पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.9 (ऐच्छिक)  प्रश्न संख्या (1) एक लकड़ी के बुकशेल्फ (Book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं:

ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति). प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm² और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm² है, तो इस बुक शेल्फ पर पॉलिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, बुक शेल्फ की बाहरी ऊँचाई = 110 cm

बुक शेल्फ की बाहरी गहराई = 25 cm

और बुक शेल्फ की बाहरी चौड़ाई = 85 cm

तथा प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई = 5 cm

पॉलिश कराने की दर = 20 पैसे प्रति cm²

और पेंट कराने की दर = 10 पैसे प्रति cm²

इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है।

अत: पालिश और पेंट करने का कुल व्यय = ?

हल

बुक शेल्फ के आंतरिक भाग जिनपर पेंट किया जाना है, के सतह के क्षेत्रफल की गणना

यहाँ बुक शेल्फ की बाहरी ऊँचाई = 110 cm

और तख्ते की मोटाई = 5 cm

प्रश्न में दिये गये चित्र से यह स्पष्ट है कि बुक शेल्फ में तीन खाने हैं।

तदनुसार ऊपर से नीचे तक तख्तों की संख्या = 4

अत: ऊपर से नीचे तक बुक शेल्फ में लगे तख्तों की कुल मोटाई

= एक तख्ते की मोटाई × 4

= 5 cm × 4 = 20 cm

अत: बुकशेल्फ की कुल आंतरिक ऊँचाई

= 110 cm – 20 cm = 90 cm

और बुक शेल्फ को तीन खानों में बाँटा गया है

अत: बुक शेल्फ के प्रत्येक खाने की आंतरिक ऊँचाई = 90/3 = 30 cm

तथा बुक शेल्फ प्रत्येक खाने की आंतरिक चौड़ाई = बुक शेल्फ की कुल चौड़ाई – (2 × तख्ते की मोटाई)

= 85 cm – (2 × 5 cm)

= 85 cm – 10 cm = 75 cm

अत: बुक शेल्फ प्रत्येक खाने की आंतरिक चौड़ाई = 75 cm

तथा बुक शेल्फ की आंतरिक गहराई = बुक शेल्फ की कुल गराई – तख्ते की मोटाई

= 25 cm – 5 cm = 20 cm

अब बुक शेल्फ के एक खाने का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2[(आंतरिक चौड़ाई × आंतरिक गहराई) + (आंतरिक ऊँचाई × आंतरिक गहराई)] + (आंतरिक ऊँचाई × आंतरिक चौड़ाई)

= 2 [ (75 cm × 20 cm) + (30 cm × 20 cm) ] + (30 cm × 75 cm )

= 2 (1500 cm² + 600 cm²) + 2250 cm²

= 2 × 2100 cm² + 2250 cm²

= 4200 cm² + 2250 cm²

= 6450 cm²

अत: बुक शेल्फ के एक खाने का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6450 cm²

चूँकि यहाँ बुक शेल्फ में कुल खाने की संख्या = 3

अत: बुक शेल्फ के सभी तीन खानों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6450 cm³

= 19350 cm²

बुक शेल्फ के सभी आंतरिक खाने पर पेंट करने के व्यय की गणना

अब दिया गया है बुक शेल्फ के आंतरिक पृष्ठ को पेंट करने की दर = 10 पैसा प्रति cm²

चूँकि बुक शेल्फ के आंतरिक खाने के 1 cm² पर पेंट करने का खर्च = 10 पैसा

अत: बुक शेल्फ के कुल आंतरिक पृष्ठ 19350 cm² को पेंट करने का व्यय

= 19350 × 10 = 193500 पैसा

= 1935.00 रूपया

अत: बुक शेल्फ के आंतरिक सतह पर पेंट करने का कुल व्यय = 1935.00 रूपये

बुक शेल्फ के बाहरी पृष्ठ को पॉलिश करने के व्यय की गणना

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, बुक शेल्फ की बाहरी ऊँचाई = 110 cm

बुक शेल्फ की बाहरी चौड़ाई = 85 cm

बुक शेल्फ की बाहरी गहराई = 25 cm

अत: बुक शेल्फ का कुल बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2[(ऊँचाई × गहराई) + (चौड़ाई × गहराई) + (ऊँचाई × चौड़ाई)]

= 2[(110 cm × 25 cm) + (85 cm × 25 cm) + (110 cm × 85 cm)]

= 2(2750 cm² + 2125 cm² + 9350 cm²)

= 2 × 14225 cm²

= 28450 cm²

अत: बुक शेल्फ का कुल बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल = 28450 cm²

अब चूँकि चित्र से स्पष्ट है कि बुक शेल्फ में कुल तीन खाने हैं, तथा सभी खाने आगे से खुले हुए हैं। इसका अर्थ यह है कि बुक शेल्फ के बाहरी पृष्ठ को पॉलिश करने में उसके खाने के आगे वाला भाग पेंट नहीं होगा।

अब बुक शेल्फ के एक खाने के आगे वाले भाग के पृष्ठ का क्षेतफल = आगे वाले भाग की ऊँचाई × आगे वाले भाग की चौड़ाई

= 30 cm × 75 cm

= 2250 cm²

अत: बुक शेल्फ के सभी तीन खाने के आगे वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 2250 cm²

अत: बुक शेल्फ के सभी तीन खाने के आगे वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6750 cm²

अत: बुक शेल्फ के बाहरी भाग का पॉलिश किया जाने वाला कुल क्षेत्रफल

= बुक शेल्फ का कुल बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल – बुक शेल्फ के कुल 3 खाने के बाहरी फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 28450 cm² – 6750 cm²

= 21700 cm²

अत: बुक शेल्फ को पॉलिश किये जाने वाले बाहरी भाग का क्षेत्रफल (प्रत्येक खाने के बाहरी फलक के पृष्ठ को छोड़कर) = 21700 cm²

बुक शेल्फ के बाहरी भाग को पॉलिश करने के व्यय की गणना (तख्ते सहित)

चूँकि बुक शेल्फ के बाहरी भाग के 1 cm² को पॉलिश करने का खर्च = 20 paise

अत: बुक शेल्फ के कुल बाहरी भाग 21700 cm² को पॉलिश करने का खर्च = 20 × 21700

= 4354000 पैसा = 4340.00 रूपये

बुक शेल्फ को पॉलिश और पेंट करने का कुल खर्च

= आंतरिक भाग के पेंटिग का कुल खर्च + बाहरी भाग के पॉलिश का कुल खर्च

= 1935.00 रूपये + 4340.00 रूपये

= 6275.00 रूपये

अत: बुक शेल्फ के पेंटिग और पॉलिश का कुल खर्च = 6275.00 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.9 (ऐच्छिक)  प्रश्न संख्या (2) किसी घर के कम्पाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पार टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वालाई रंग से पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रँग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग से पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है और काले रंग से पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² है, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, लकड़ी के गोले का व्यास = 21 cm

अत: लकड़ी के गोले की त्रिज्या = 21/2 = 10.5 cm

गोलों के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन की ऊँचाई = 7 cm

तथा गोलों के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन की त्रिज्या = 1.5 cm

तथा गोलों की कुल संख्या = 8

गोलों पर चाँदी के रंग से पेंट किये जाने की दर = 25 पैसे प्रति cm²

तथा गोलों के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन को काले रंग से पेंट कराने की दर = 5 पैसे प्रति cm²

अत: पेंटिग का कुल व्यय = ?

गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफ की गणना

प्रश्न के अनुसार गोले की त्रिज्या = 10.5 cm

हम जानते हैं कि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 ℼ r²

अत: दिये गये एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 × `22/7` × (10.5 cm)²

= 4 × `22/7` × 10.5 cm × 10.5 cm

= 4 × 22 × 1.5 cm × 10.5 cm

= 88 × 15.75 cm²

= 1386 cm²

अत: दिये गये एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 cm²

यहाँ चूँकि प्रत्येक गोले को बेलनाकार आधार पर लगाया जाना है, अत: बेलन द्वारा आच्छादित गोले के क्षेत्र के भाग को छोड़कर गोले पर चाँदी के रंग से पेंट किया जाना है।

अब बेलनाकार आधार की त्रिज्या = 1.5 cm

हम जानते हैं कि एक वृत का क्षेत्रफल = ℼ r²

अत: गोले का वह क्षेत्रफल जिसे छोड़कर कर गोले को पेंट किया जाना है

= ℼ × (1.5 cm)²

= `22/7` × 2.25 cm²

= 7.071 cm²

अत: बेलनाकार आधार द्वारा आच्छादित भा को छोड़कर एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिसे पेंट किया जाना है

= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलनाकार आधार द्वारा आच्छादित होने वाला क्षेत्रफल

= 1386 cm² – 7.071 cm²

= 1378.929 cm²

≃ 1379 cm²

अत: एक गोले का क्षेत्रफल (बेलनाकार आधार द्वारा आच्छादित क्षेत्रफ को छोड़कर) जिसे चाँदी के रंग से पेंट किया जाना है = 1379 cm²

गोले को को चाँदी के रंग से पेंट करने के व्यय की गणना

चूँकि चाँदी के रंग से 1 cm² को पेंटॅ करने का व्यय = 25 पैसा = 0.25 रूपये

अत: चाँदी के रंग से एक गोले के 1379 cm² को पेंट करने का व्यय = Rs 0.25 × 1379

= 344.75 रूपये

अत: एक गोले को चाँदी के रंग से पेंट करने का व्यय = 344.75 रूपये

गोले के बेलनाकार आधार को काले रंग से पेंट करने के व्यय की गणना

प्रश्न के अनुसार गोले के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन की ऊँचाई = 7 cm

तथा गोले के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन की त्रिज्या = 1.5 cm

हम जानते हैं कि बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r h

अत: गोले के आधार पर लगाये जाने वाले एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 1.5 cm × 7 cm

= 2 × 22 × 1.5 cm × 1 cm

= 44 × 1.5 cm²

= 66 cm²

अत: गोले के आधार पर लगाये जाने वाले एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 cm²

गोले के आधार पर लगाये जाने वाले बेलन को काले रंग से पेंट कराने के व्यय की गणना

चूँकि 1 cm² को काले रंग से पेंट कराने का व्यय = 5 पैसा

अत: 66 cm² को काले रंग से पेंट कराने का व्यय = 5 × 66 पैसा

= 330 पैसा = 3.30 रूपया

सजावट के लिए लगाये जाने वाले गोले को पेंट करने के कुल व्यय की गणना

एक गोले का बेलनाकार आधार सहित पेंट कराने का व्यय

= एक गोले को चाँदी के रंग से पेंट कराने का व्यय + एक बेलनाकार आधार को काले रंग से पेंट कराने का व्यय

= 344.75 रूपया + 3.30 रूपया

= 348.05 रूपया

अत: सभी 8 गोले को उसके बेलनाकार आधार सहित पेंट कराने का व्यय

= एक गोले को आधार सहित पेंट कराने का व्यय × 8

= 348.05 रूपया × 8

= 2784.40 रूपया

अत: दिये गये सभी गोले को पेंट कराने का कुल खर्च

≃ Rs 2784.40 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.9 (ऐच्छिक)  प्रश्न संख्या (3) एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?

हल

दिया गया है, गोले के व्यास में कमी = 25%

अत: गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत = ?

प्रश्न के अनुसार चूँकि गोले के व्यास में 25% की कमी होती है, अत: उसके त्रिज्या में भी 25% की कमी होगी।

मान लिया कि गोले (1) की त्रिज्या (R) = 100 m

अत: इस गोले की त्रिज्या 25% कमी के बाद 25 % (r) = 75 m

हम जानते हैं कि गोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 4 ℼ r²

अत: पहले गोले(1) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 `22/7` × (100 m)²

= 4 × `22/7` 10000 m²

= 125717.285 m²

अब दूसरे गोले (2) अर्थात त्रिज्या में कमी के बाद वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 × `22/7` (75 m)²

= 4 × `22/7` × 5625 m²

= 70714.285 m²

अब त्रिज्या में 25% की कमी के बाद गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी

= गोले (1) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – त्रिज्या में 25% की कमी के बाद गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 125717.285 m² – 70714.285 m²

= 55003 m²

त्रिज्या में 25% की कमी के कारण गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 125717.285 m² में कमी = 55003

अत: 100 में कमी `=(55003 m^2)/(125717.285 m^2)xx100`

= 43.75%

अत: गोले की त्रिज्य में 25% की कमी के बाद उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत

= 43.75% उत्तर

शॉर्टकट विधि

दिया गया है, गोले के व्यास में कमी = 25%

अत: गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत = ?

प्रश्न के अनुसार चूँकि गोले के व्यास में 25% की कमी होती है, अत: उसके त्रिज्या में भी 25% की कमी होगी।

मान लिया कि गोले (1) की त्रिज्या (R) = 100 m

अत: इस गोले की त्रिज्या 25% कमी के बाद 25 % (r) = 75 m

अब दोनों गोले की त्रिज्याओं का अनुपात = 100:75

`=100/75 = (25xx4 )/(25xx3)=4/3`

हम जानते हैं कि दो गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = गोले की त्रिज्याओं के वर्ग का अनुपात

`=(4/3)^2 = 16/9`

अत: यहाँ पहले गोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 16

तथा त्रिज्या में 25% की कमी के बाद पृष्ठीय क्षेत्रफल = 9

तथा त्रिज्या में 25% की कमी के बाद वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी = 16 – 9 = 7

अब चूँकि 16 में कमी = 7

अत: 1 में कमी = 7/16

अत: 100 में कमी `=7/16xx100 = 43.75%`

अत: गोले की त्रिज्य में 25% की कमी के बाद उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत

= 43.75% उत्तर