पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (6) दो बेलनों की त्रिज्याएँ 2:3 के अनुपात में हैं तथा उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5:3 है। उनके आयतनों का अनुपात है:

(A) 10:17

(B) 20:27

(C) 17:27

(D) 20:37

उत्तर (B) 20:27

ब्याख्या

दिया गया है, दो बेलन के त्रिज्याओं का अनुपात = 2 : 3

तथा उन दिये गये बेलन की ऊँचाइयों का अनुपात = 5 : 3

अत: बेलन के आयतनों का अनुपात = ?

बेलन 1 के लिए

मान लिया कि त्रिज्या = 2r

तथा ऊँचाई = 5h

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: बेलन 1 का आयतन

= ℼ × (2r)² × 5 h

= ℼ × 4 r² × 5 h

अत: बेलन 1 का आयतन = ℼ 20 r² h

बेलन 2 के लिए

मान लिया कि त्रिज्या = 3 r

तथा ऊँचाई = 3 h

अत: बेलन 2 का आयतन = ℼ r² h

= ℼ × (3 r)² × 3 h

= ℼ × 9 r² × 3 h

अत: बेलन 2 का आयतन = 27 r² h

अब बेलन 1 और बेलन 2 के आयतन का अनुपात = आयतन1/आयतन2

`=(pi\ 20r^2xx h)/(pi\ 27r^2xxh)`

= 20/27

अत: दिये गये दोनों बेलन के आयतन का अनुपात = 20:27 उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (7) एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 256 m² है। घन का आयतन है

(A) 512 m³

(B) 64 m³

(C) 216 m³

(D) 256 m³

उत्तर (A) 512 m³

ब्याख्या

दिया गया है, घन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 256 m²

अत: दिये गये घन का आयतन = ?

हम जानते हैं कि, एक घन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 4 a²

जहाँ a = घन का किनारा

अत: दिये गये घन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 256 m² = 4 a²

⇒ 256/4 m² = a²

⇒ a² = 64 m²

⇒ a = 8 m

हम जानते हैं कि एक घन का आयतन = a³

अत: दिये गये घन का आयतन = (8 m)³

= 8 m × 8 m × 8 m ×

= 512 m³

अत: दिये गये घन का आयतन = 512 m³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (8) 16 m लम्बे, 12 m चौड़े और 4m घरे एक गड्ढ़े में रखे जा सकने वाले 4m × 50cm × 20cm विमाओं वाले तख्तों की संख्या है

(A) 1900

(B) 1920

(C) 1800

(D) 1840

उत्तर (B) 1920

ब्याख्या

दिया गया है, तख्ते की लम्बाई = 4 m

और तख्ते की की चौड़ाई = 50 cm

= 50/100 = 0.5 m

और तख्ते की की गहराई = 20 cm

= 20/100 = 0.2 m

तथा गड्ढ़े की लम्बाई = 16 m

और गड्ढ़े की की चौड़ाई = 12 m

और गड्ढ़े की गहराई = 4 m

अत: दिये गये गड्ढ़े में रखे जा सकने वाले तख्तों की अधिकतम संख्या = ?

तख्तों का आयतन = `l` × b × h

= 0.5 m × 0.2 m × 4 m

= 0.4 m³

और गड्ढ़े का आयतन = `l`b h

= 16 m × 12 m × 4 m

= 768 m³

अत: गड्ढ़े में रखे जा सकने वाले तख्तों की संख्या

= गड्ढ़े का आयतन/तख्ते का आयतन

= 768/0.4

= 1920 तख्ते

अत: दिये गये गड्ढ़े में रखे जा सकने वाले तख्तों की संख्या = 1920 उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (9) 10 m × 10 m × 5 m विमाओं वाले एक कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लम्बे डंडे की लम्बाई है

(A) 15m

(B) 16m

(C) 10m

(D) 12m

उत्तर (A) 15m

ब्याख्या

दिये गये कमरे में रखे जा सकने सबसे लम्बे डंडे की लम्बाई = दिये गये कमरे का विकर्ण

यहाँ दिया गया है, कमरे की लम्बाई = 10 m

तथा कमरे की चौड़ाई = 10 m

तथा कमरे की ऊँचाई = 5 m

हम जानते हैं कि, एक घनाभाकार कमरे का विकर्ण

अत: दिये गये कमरे का विकर्ण = 15 m

अत: दिये गये कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लम्बे डंडे की लम्बाई = 15 m उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (10) एक अर्धगोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 6 cm से 12 हो जाती है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है

(A) 1:4

(B) 1:3

(C) 2:3

(D) 2:1

उत्तर (A) 1:4

ब्याख्या

दिया गया है, पहली स्थिति में अर्धगोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 6 cm

तथा गुब्बारे में और अधिक हवा भरने के बाद अर्धगोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या (R) = 12 cm

अत: दिये गये दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = ?

हम जानते हैं कि, एक अर्धगोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 ℼ r²

स्थिति-1

पहली स्थिति में दिये गये अर्धगोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 3 × ℼ × (6 cm)²

= 3 ℼ × 36 cm²

स्थिति-2

स्थिति – 2 में दिये गये अर्धगोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या = 12 cm

अत: स्थिति 2 में दिये गये अर्धगोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 3 ℼ r²

= 3 × ℼ × (12 cm)²

= 3 ℼ × (12 cm)²

= 3 ℼ× 144 cm²

दिये गये दोनों स्थितियों में अर्धगोलकारा गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात

`=(3\ pi\ 36cm^2)/(3\ pi\ 144cm^2)`

= 1/4 = 1 : 4

अत: दिये गये दोनों स्थितियों में अर्धगोलकारा गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = 1:4 उत्तर