पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (1) एक गोले का अयतन उस बेलन के आयतन का 2/3 होता है जिसकी ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर है।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

दिया गया है, बेलन की ऊँचाई और व्यास = गोले की ऊँचाई और व्यास

अत: दिये गये गोले का आयतन दिये गये बेलन के आयतन का 2/3 है या नहीं?

मान लिया कि दिये गये गोले का व्यास = 2r

अत: गोले की त्रिज्या = r

तथा गोले की ऊँचाई = 2r

(चूँकि व्यास और ऊँचाई बराबर है, और एक गोले का व्यास ही उसकी ऊँचाई होती है।)

तथा प्रश्न के अनुपात बेलन की ऊँचाई और व्यास = गोले की ऊँचाई और व्यास

अत: बेलन की उँचाई = 2r

तथा बेलन का व्यास = 2r

अत: बेलन की त्रिज्या = r

हम जानते हैं कि एक गोले का आयतन

= 4/3 ℼ r³ - - - - (i)

और एक बेलन का आयतन

= ℼ r²h

अत: दिये गये बेलन का आयतन

= ℼ r² 2r

= ℼ 2 r³ - - - - (ii)

अब प्रश्न के अनुसार

दिये गये गोले का आयतन = बेलन के आयतन का 2/3

⇒ 4/3 ℼ r³ = 2/3 ℼ 2r³h

[समीकरण (i) और समीकरण (ii) से]

⇒ 4/3 ℼ r³ = 4/3 ℼ r³

अत: प्रश्न में दिया गया वाक्य कि एक गोले का अयतन उस बेलन के आयतन का 2/3 होता है जिसकी ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर है सही है।

अत: उत्तर = सत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (2) यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या आधी कर दी जाये और ऊँचाई दुगुनी कर दी जाये, तो उसके आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

उत्तर असत्य

ब्याख्या

मान लिया कि दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = r

तथा इस दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = h

अब प्रश्न के अनुसार इस लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या को आधी करने पर त्रिज्या = r/2

तथा इस लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई को दोगुनी करने पर ऊँचाई = 2h

अत: इस दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु के आयतन में कोई परिवर्तन होगा अथवा नहीं?

हम जानते हैं कि, एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r² h - - - - (i)

अब दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या को आधी और ऊँचाई दुगुनी करने पर आयतन

= 1/3 ℼ (r/2)² × 2h

= 1/3 ℼ `r^2/4` × 2h

= 1/3 ℼ `r^2/2` h - - - - - (ii)

अब चूँकि समीकरण (i) ≠ समीकरण (ii),

अत: प्रश्न में दिया गया कथन " यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या आधी कर दी जाये और ऊँचाई दुगुनी कर दी जाये, तो उसके आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है" असत्य है।

अत: उत्तर = असत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (3) एक लम्ब वृत्तीय शंकु में ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई सदैव एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ नहीं होते हैं।

उत्तर असत्य

व्याख्या

हम जानते हैं कि, एक लम्ब वृत्तीय शंकु में त्रिज्या, उँचाई और तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि "एक लम्ब वृत्तीय शंकु में ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई सदैव एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ नहीं होते हैं " असत्य है।

अत: उत्तर = असत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (4) यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाये तथा उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन न किया जाये, तो उसकी ऊँचाई अवश्य ही आधी हो जायेगी।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

स्थिति-1

मान लिया कि बेलन की त्रिज्या = r

तथा इस बेलन की ऊँचाई = h

स्थिति-2

इस दिये गये बेलन की त्रिज्या दोगुनी करने पर त्रिज्या = 2r

तथा इस दिये गये बेलन की ऊँचाई को आधी करने पर ऊँचाई = h/2

अत: इस स्थिति में इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समान रहेगा अथवा नहीं?

हम जानते हैं कि एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r h

अत: स्थिति -1 में दिए गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ × r × h - - - - (i)

स्थिति 2 में दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ × 2r × h/2

= 2 ℼ r × h - - - - (ii)

चूँकि समीकरण (i) = समीकरण (ii)

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि " यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाये तथा उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन न किया जाये, तो उसकी ऊँचाई अवश्य ही आधी हो जायेगी" सत्य है।

हालाँकि यदि एक बेलन की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाये तथा उसकी ऊँचाई एक चौथाई कर दी जाए, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल भी आधा हो जायेगा।

प्रमाण

मान लिया कि त्रिज्या = 2r और ऊँचाई = h/4

अत: दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ 2r² × h/4

= ℼ 4 r × h/4

= ℼ r × h - - - - - (iii)

since equation (i) ×1/2 = equation (iii)

अत: यदि एक बेलन की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाये तथा उसकी ऊँचाई एक चौथाई कर दी जाए, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल भी आधा हो जायेगा।

अत: उत्तर = सत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (5) किनारे 2r वाले एक घन में समावेशित किये जा सकने वाले सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन त्रिज्या r वाले अर्ध गोले के आयतन के बराबर होता है।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

दिया गया है, घन का एक किनारा = 2r

अत: इस दिये गये घन में समावेशित हो सकने वाले सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का व्यास = 2r

अर्थात इस लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या = r

तथा शंकु की ऊँचाई = घन का किनारा = 2r

हम जानते हैं कि, एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r² 2r

= 2/3 ℼ r³ - - - - - (i)

यहाँ प्रश्न के अनुसार अर्धगोले की त्रिज्या = r

हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन

= 2/3 ℼ r³ - - - - (ii)

अब स्पष्टत: समीकरण (i) = समीकरण (ii)

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि किनारे 2r वाले एक घन में समावेशित किये जा सकने वाले सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन त्रिज्या r वाले अर्ध गोले के आयतन के बराबर होता है सत्य है।

अत: उत्तर = सत्य