पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2
महत्वपूर्ण सूत्र
एक लम्ब बृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2pi\r`
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2pi\r(r+h)`
एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2: प्रश्न एवं हल
जबतक अन्यथा न का जाये `pi=22/7` लीजिए
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (1) ऊँचाई 14 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm2 है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है,
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm2
बेलन की ऊँचाई = 14 cm
अत: बेलन के आधार का व्यास =?
हम जानते हैं कि,
एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h
⇒ 88 cm2 `= 2 xx 22/7 xx r xx 14\ cm`
⇒ 88 cm2 = 2 × 22 × 2 cm × r
⇒ 88 cm2 = 48 cm × r
`=>r = (88\ cm^2)/(48 cm)`
⇒ r = 1 cm
अब हम जानते हैं कि व्यास = 2 r
अत: दिये गये बेलन का व्यास = 2 × 1 cm = 2 cm
अत: दिये गये बेलन के आधार का व्यास = 2 cm उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (2) धातु की एक चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
हल
दिया गया है बेलनाकार टंकी की ऊँचाई (h) = 1 m
और बेलनाकार टंकी के आधार का व्यास (d or 2 r) = 140 cm
= 140/100 m
⇒ बेलनाकार टंकी का व्यास ( d or 2 r) = 1.4 m
अत: बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (r) = 1.4/2 = 0.7 m
अत: दिये गये बेलनाकार टंकी को बनाने के लिए आवश्यक धातु की चार वर्ग मीटर में = ?
हम जानते हैं कि, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r ( r + h)
अत: दिये गये बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2xx22/7xx0.7 m(0.7 m+1 m)`
= 2 × 22 × 0.1 m × 1.7 m
= 4.4 m × 1.7 m
= 7.48 m2
अत: दिये गये बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 7.48 m2
अब, दिये गये बेलनाकार टंकी को बनाने के लिए आवश्यक धातु की चादर की माप = दिये गये टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
अत: दिये गये बेलनाकार टंकी को बनाने के लिए आवश्यक धातु की चादर = 7.4 m2 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (3) धातु का के पाइप 77 cm लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल
दिया गया है, धातु के पाइप की ऊँचाई (h) = 77 cm
धातु के पाइप का बाहरी व्यास (D or 2R) = 4.4 cm
अत: धातु के पाइप की बाहरी त्रिज्या (R) = 4.4 cm/2
⇒ धातु के पाइप की बाहरी त्रिज्या (R) = 2.2 cm
और धातु के पाइप की आंतरिक त्रिज्या (d or 2r) = 4 cm
अत: धातु के पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = 4 cm/2
⇒ धातु के पाइप की आंतरिक त्रिज्या = 2 cm
Thus, (i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h
अत: दिये गये पाइप का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`= 2 xx 22/7 xx 2 cm xx 77 cm`
= 2 × 22 × 2 cm × 11 cm
= 88 × 11 cm2
= 968 cm2
अत: दिये गये पाइप का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 cm2 उत्तर
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि बेलन का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π R h
अत: दिये गये पाइप का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`= 2 xx 22/2xx 2.2 cm xx 77 cm`
= 2 × 22 × 2.2 cm × 11 cm
= 44 × 2.2 × 11
= 9.68 cm × 11 cm
= 1064.8 cm2
अत: दिये गये पाइप का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1064.8 cm2 उत्तर
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
यहाँ,
दिये गये पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल + बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × पाइप के मोटाई का क्षेत्रफल
= 2 π rh + 2 π RH + [2 π (R2 – r2)]
= 968 cm2 + 1064.8 cm2 + [2 π (R2 – r2)]
[∵ आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 cm2 और बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1064.8 cm2 जैसा कि प्रश्न के खंड (i)और (ii) में उपर में गणना की गयी है।]
= 2032.8 cm2 + [2 × `22/7` { (2.2 cm)2 – (2 cm)2}]
= 2032.8 cm2 + [`44/7` × (4.84 cm2 – 4 cm2)]
= 2032.8 cm2 + (`44/7` × 0.84 cm2)
= 2032.8 cm2 + (44 × 0.12 cm2)
= 2032.8 cm2 + 5.28 cm2
= 2038.08 cm2
अत: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2038.08 cm2 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (4) एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लम्बाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का m2 में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है, रोलर का व्यास (d) = 84 cm
अत: रोलर की त्रिज्या (r) = d/2
⇒ r = 84/2 = 42 cm
तथा रोलर की लम्बाई i.e. रोलर की ऊँचाएई = 120 cm
खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लि लगने वाले चक्करों की संख्या = 500
अत: खेल के मैदान का क्षेत्रफल = ?
रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h
अत: दिये गये रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 × `22/7` × 42 cm × 120 cm
= 2 × 22 × 6 cm × 120 cm
= 44 × 720 cm2
= 31680 cm2
`= 31680/(100xx100)m^2`
= 3.168 m2
अत: दिये गये रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3.168 m2
खेल के मैदान के क्षेत्रफल की गणना
अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, मैदान को एक बार समतल करने के लिए रोलर को चक्कर लगाने की संख्या = 500
अत: खेल के मैदान का क्षेत्रफल = रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल × चक्करों की संख्या
= 3.168 cm2 × 500
= 1584 m2
अत: दिये गये खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 1584 m2 उत्तर
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (5) एक बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 cm है और ऊँचाई 3.5 m है। 12.50 रूपये प्रति m2 की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया है, बेलनाकार स्तंभ का व्यास = 50 cm
&therefor; बेलनाकार स्तंभ की त्रिज्या (r) = 50/2
⇒ बेलनाकार स्तंभ की त्रिज्या (r) = 25 cm
= 25/100 m
⇒ r = 0.25 m
बेलनाकार स्तंभ की ऊँचाई = 3.5 m
तथा, उस बेलनाकार स्तंभ को पेंट कराने की दर = 12.50 रूपये प्रति m2
अत: दिये गये बेलनाकार स्तंभ को पेंट कराने का व्यय = ?
बेलनाकार स्तंभ के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h
अत: दिये गये बेलनाकार स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 × `22/7` × 0.25 m × 3.5 m
= 2 × 22 × 0.25 m × 0.5 m
= 44 × 0.125 m2
= 5.5 m2
अत: दिये गये बेलनाकार स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 5.5 m2
दिये गये बेलनाकार स्तंभ के वक्र पृष्ठ को पेंट कराने के व्यय की गणना
दिये गये बेलनाकार स्तंभ के वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय
= बेलनाकार स्तंभ का वक्र × पेंट कराने की दर
अत: बेलनाकार स्तंभ को पेंट कराने का व्यय = 5.5 × 12.50
= Rs 68.75
अत: दिये गये बेलनाकार स्तंभ के वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय = Rs 68.75 उत्तर
Reference: