पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (6) एक बेलन और एक लम्ब वृत्तीय शंकु के समान आधार और समान ऊँचाई हैं। बेलन का आयतन शंकु के आयतन का तिगुना है।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

दिया गया है, एक बेलन और एक लम्ब वृत्तीय शंकु के समान आधार और समान ऊँचाई हैं।

अत: क्या बेलन का आयतन = शंकु का आयतन × 3?

लम्ब वृत्तीय शंकु के लिए

मान लिया कि लम्ब वृत्तीय शंकु का व्यास = 2r

अत: त्रिज्या = 2r/2 = r

तथा मान लिया कि इस लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = h

हम जानते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

= 2/3 ℼ r² h

अत: दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r² × h

= 1/3 ℼ × r h - - - - (i)

बेलन के लिए

मान लिया कि बेलन के आधार का व्यास = 2r

अत: इस बेलन की त्रिज्या = 2r/2 = r

अत: बेलन की ऊँचाई = h

[चूँकि बेलन का व्यास और ऊँचाई दिये गये लम्ब वृत्तीय शंकु के व्यास और ऊँचाई के बराबर है।]

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन

= ℼ r² h

अत: दिये गये बेलन का आयतन

= ℼ r² × h - - - - (ii)

अब प्रश्न के अनुसार बेलन का आयतन = 3 × लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

⇒ ℼ r² h = 3 × `1/3` ℼ r² h

⇒ ℼ r² h = ℼ r² h

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि "एक बेलन और एक लम्ब वृत्तीय शंकु के समान आधार और समान ऊँचाई हैं। बेलन का आयतन शंकु के आयतन का तिगुना है" सत्य है।

अत: उत्तर = सत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (7)एक शंकु, अर्धगोला और बेलन समान आधार और समान ऊँचाई के हैं। इनके आयतनों का अनुपात 1:2:3 है।

उत्तर = सत्य

ब्याख्या

दिया गया है, एक शंकु, अर्धगोला और बेलन के समान आधार और समान ऊँचाई हैं।

अत: सिद्ध करना है कि इनके आयतनों का अनुपात = 1 : 2 : 3

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, एक शंकु, एक अर्धगोला और एक बेलन के समान आधार और समान ऊँचाई हैं।

अर्धगोले के लिए

यहाँ हम जानते हैं कि एक अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है।

मान लिया कि दिए गये अर्धगोले का व्यास = 2r

अत: इस दिये गये अर्धगोले की त्रिज्या = r

अत: इस अर्धगोले की ऊँचाई (h) = r

[चूँकि प्रश्न के अनुसार आधार और ऊँचाई समान है।]

हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन

= 2/3 ℼ r³

अत: दिये गये अर्धगोले का आयतन

= 2/3 ℼ r³ - - - - (i)

शंकु के लिए

चूँकि प्रश्न के अनुसार अर्धगोले, शंकु और बेलन के समान आधार और समान ऊँचाई हैं।

अत: शंकु के आधार का व्यास = 2r

[चूँकि माना गया है कि अर्धगोले के आधार के व्यास = 2r है।]

अत: शंकु के आधार की त्रिज्या = r

और चूँकि शंकु की ऊँचाई अर्धगोले के बराबर है,

अत: दिये गये शंकु की ऊँचाई = अर्धगोले की ऊँचाई = r

हम जानते हैं कि, एक शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r ² h

अत: दिये गये शंकु का आयतन

= 1/3 ℼ r² × r

= 1/3 ℼ × r³ - - - - - (ii)

बेलन के लिए

चूँकि अर्धगोले का व्यास = 2r (जैसा कि माना गया है)

अत: दिये गये बेलन के आधार का व्यास = 2r

अत: दिये गये बेलन की त्रिज्या = r

अब चूँकि शंकु, अर्धगोले और बेलन की ऊँचाई समान है,

अत: दिये गये बेलन की ऊँचाई = r

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r ² h

अत: दिये गये बेलन का आयतन

= ℼ r² × r

= ℼ × r³ - - - - (iii)

अब शंकु, अर्धगोले और बेलन के आधार का अनुपात

[समीकरण (i), (ii) और (iii) से]

[सभी को 3 से गुणा करने पर]

= 1 : 2 : 3

अत: दिये गये शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन का अनुपात

= 1 : 2 : 3

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि "एक शंकु, अर्धगोला और बेलन समान आधार और समान ऊँचाई के हैं। इनके आयतनों का अनुपात 1:2:3 है" सत्य है।

अत: उत्तर = सत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (8) यदि किसी घना कई विकर्ण की लम्बाई `6sqrt3` cm है, तो उसके किनारे की लम्बाई 3 cm है।

उत्तर असत्य

ब्याख्या

दिया गया है, एक घन का विकर्ण `=6sqrt3`

अत: उसके किनारे की लम्बाई = 3 cm है अथवा नहीं?

हम जानते हैं कि, एक घन का विकर्ण= a √ 3

जहाँ a घन का एक किनारा है।

अत: दिये गये घन का विकर्ण,

6 √ 3 cm = a √ 3

`=>a = (6sqrt3)/(sqrt3)` cm

⇒ a = 6 cm

अत: दिये गये घन का किनारा 6 cm है न कि 3 cm

अत: उत्तर = असत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (9) यदि एक गोला एक Ghana के अंतर्गत है, तो घन के आयतन का गोले के आयतन से अनुपात 6 : ℼ है।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

मान लिया कि दिये गये घन का एक किनारा = a

अत: दिया गया गोला जो घन के अंदर है का व्यास = a

अत: दिया गया गोला जो घन के अंदर है की त्रिज्या = a/2

[चूँकि गोला घन के अंतर्गत है, अत: गोले का व्यास = घन का किनारा = a]

अत: घन का आयतन : गोलाए का आयतन = 6 : ℼ है अथवा नहीं?

हम जानते हैं कि, एक घन का आयतन

= (घन का किनारा)³

अत: दिये गये घन का आयतन = a³ - - - - (i)

और हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन

= 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

अब दिये गये घन और गोले के आयतन का अनुपात

`=a^3\ : 1/6\ a^3\ pi`

अनुपात के दोनों भाग में `6/a^3` से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

`=a^3xx6/a^3:1/6\a^3\ pi\ xx6/a^3`

= 6 : ℼ

अत: दिये गये घन के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात

= 6 : ℼ

अत: उत्तर = सत्य

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (10) यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाये और उसकी ऊँचाई आधी कर दी जाये, तो उसका आयतन दुगुना हो जायेगा।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

दिया गया है, एक बेलन की त्रिज्या दोगुनी और ऊँचाई आधी कर दी जाती है। radius of a cylinder is doubled and height is halved.

तो उसका आयतन दोगुना होगा या नहीं?

मान लिया कि दिये गये बेलन की त्रिज्या = r

तथा उस बेलन की ऊँचाई = h

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h - - - - - (i)

तथा दिये गये बेलन की त्रिज्या दोगुनी और ऊँचाई आधी करने पर

बेलन की त्रिज्या = 2r

और ऊँचाई = h/2

अत: इस बेलन का आयतन

= ℼ (2r)² × h/2

= ℼ 4 r² × h/2

= ℼ 2 r² h

= 2 ℼ r² h - - - - (ii)

अब समीकरण (i) और समीकरण (ii) से स्पष्ट है कि

2 × समीकरण (i) = (ii)

अत: पहली स्थिति में बेलन का आयतन × 2 = दूसरी स्थिति में बेलन का आयतन

अत: प्रश्न में दिया गया कथन कि "यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाये और उसकी ऊँचाई आधी कर दी जाये, तो उसका आयतन दुगुना हो जायेगा" सत्य है।

अत: उत्तर = सत्य