पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (1) एक 16 cm × 8 cm × 8 cm आंतरिक विमाओं वाले आयताकार पेटी में, धातु के गोले पैक किए जाते हैं जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 2 cm है। 16 गोले पैक किये जाने (रखे) जाने पर पेटी को एक परिरक्षक द्रव से भर दिया जाता है। इस द्रव का आयतन ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर निकटतम पूर्णांक तक दीजिए। [use ℼ = 3.14 का प्रयोग कीजिए]

हल

दिया गया है, गोलों की त्रिज्या = 2 cm

तथा गोलों की संख्या = 16

और आयताकार पेटी की आंतरिक विमाएँ = 16 cm × 8 cm × 8 cm

अत: दिये गये 16 गोलों को आयताकार पेटी में रखे जाने पर उसमें रखे जाने वाले परिरक्षक द्रव का आयतन = ?

हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये एक गोले का आयतन

= 4/3 × 3.14 × (2 cm)³

= 4/3 × 3.14 × 8 cm³

= 33.493 cm³

अत: दिये गये कुल 16 गोलों का आयतन = 33.493 cm³ × 16

= 535.893 cm³

हम जानते हैं कि आयतकार पेटी का आयतन = `l`bh

= 16 cm × 8 cm × 8 cm

= 1024 cm³

अत: आयताकार पेटी में गोले रखे जाने के बाद भरे गये परिरक्षक द्रव का आयतन = पेटी में गोलों के बाद बचे स्थान का आयतन =

= आयताकार पेटी का आयतन – उसमें रखे गये 16 गोलों का आयतन

= 1024 cm ² – 535.893 cm²

= 488.12 cm³

= 488.107 cm³

≃ 488 cm³

अत: पेटी में रखे गये परिरक्षक द्रव का आयतन ≃ 488 cm³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (2) पानी को संचरित करने वाली एक टंकी एक घन के आकार की है। इसे पूरा भरने पर, इसमें पानी का आयतन 15.625 m³ है। यदि इस समय टंकी में पानी की गहराई 1.3 m है तो इस टंकी में से पहले प्रयुक्त किये गये पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है घनाकार टंकी में पानी का आयतन = 15.625 m³

तथा पानी की वर्तमान गहराई = 1.3 m

अत: पहले से प्रयुक्त किये गये पानी का आयतन = ?

मान लिया कि घनाकार टंकी की एक भुजा = a

हम जानते हैं कि, एक घन का आयतन = side³

अत: दिये गये घनाकार टंकी का आयतन = (a)³

⇒ 15.625 m³ = a³

`=>a = root3(15.625 m^3)`

`=>a = root3(2.5mxx2.5mxx2.5m)`

⇒ a = 2.5 m

अत: घनाकार टंकी का एक किनारा या एक भुजा a = 2.5 m

वर्तमान में घनाकार टंकी में पानी की गहराई (h) = 1.3 m

हम जानते हैं कि एक घनाकार टंकी का आयतन = `l\ b\ h`

अत: दिये गये घनाकार टंकी में वर्तमान पानी का आयतन

= 2.5 m × 2.5 m × 1.3 m

= 8.125 m³

पहले से प्रयुक्त किये गये पानी का आयतन = टंकी को भरने पर उसमें पानी का आयतन – टंकी में वर्तमान पानी का आयतन

= 15.625 m³ – 8.125 m³

= 7.5 m³

अत: प्रयुक्त किये गये पानी का आयतन = 7.5 m³

हम जानते हैं कि, 1 m³ = 1000 लीटर

अत:, 7.5 m³ पानी = 1000 × 7.5 लीटर

= 7500 लीटर

अत: प्रयुक्त किये गये पानी का आयतन

= 7.5 m³ or 7500 Litre उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (3) यदि 4.2 cm व्यास वाली एक गोलाकार गेंद को पूर्णत: पानी में डुबो दिया जाये, तो उसके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

यहाँ दिये गये गोले द्वारा विस्थापित किये जाने वाले पानी का आयतन = दिये गये गोले का आयतन

दिया गया है, गोले का व्यास = 4.2 cm

अत: गोले की त्रिज्या = 2.1 cm

हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन

= `4/3 xx 22/7` × 2.1 cm × 2.1 cm × 2.1 cm

= 4 × 22 × 0.7 cm × 0.3 cm × 2.1 cm

= 88 × 0.441 cm³

= 38.808 cm³

अत: दिये गये गोले द्वारा विस्थापित किये जाने वाले पानी का आयतन

= 38.808 cm³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (4) उस शंक्वाकार तम्बू को बनाने में लगे कैनवास की मात्रा (क्षेत्रफल) ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई 3.5 m है तथा आधार की त्रिज्या 12 m?

हल

दिया गया है शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई = 3.5 m

तथा इस शंक्वाकार तम्बू के आधार की त्रिज्या = 12 m

अत: तम्बू को बनाने में लगे कैनवास की मात्रा अर्थात कैनवास का क्षेत्रफल = ?

यहाँ तम्बू को बनाने में लगने वाले कैनवास की मात्रा अर्थात क्षेत्रफल = शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

एक शंकु के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल के सूत्र से यह स्पष्ट है कि इसकी गणना के लिए शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई की आवश्यकता होती है।

हम जानते हैं कि, एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई, ऊँचाई और त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

साथ ही हम यह भी जानते हैं कि, [एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]² = (r)² + (h) ²

अत: दिये गये (शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई)²

= (12 m)² + (3.5 m)²

= 144 m² + 12.25 m²

= 156.25 m²

अत: तिर्यक ऊँचाई `l=sqrt(156.25 m^2)`

⇒ तिर्यक ऊँचाई = 12.5 m

हम जानते हैं कि, एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = ℼ r `l`

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= `22/7` × 3.5 m × 12.5 m

= 22 × 0.5 m × 12.5 m

= 22 × 6.25 m²

= 137.5 m²

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 137.5 m² = तम्बू को बनाने में लगने वाले कैनवास का क्षेत्रफल

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू को बनाने में लगने वाले कैनवास का क्षेत्रफल = 137.5 m² उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (5) एक ही धातु के बने दो ठोस गोलों का भार 5920 g और 740 g है। यदि छोटे गोले का व्यास 5 cm है, तो बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है बड़े वाले गोले का भार = 5920 g

तथा छोटे गोले का भार = 740 g

तथा छोटे गोले का व्यास = 5 cm

अत: दिये गये छोटे गोले की त्रिज्या = 5/2 = 2.5 cm

अत: बड़े गोले की त्रिज्या = ?

यहाँ जब गोले का भार 740 g है तो त्रिज्या = 2.5 cm

अत: यदि गोले का भार 1 g है, तो त्रिज्या `=2.5/740` cm

अत: यदि गोले का भार 5920 g है, तो त्रिज्या `=2.5/740xx5920` cm

= 2.5 × 8 cm = 20 cm

अत: दिये गये बड़े गोले की त्रिज्या = 20 cm

दूसरी विधि (शॉर्टकट विधि)

दिया गया है बड़े वाले गोले का भार = 5920 g

तथा छोटे गोले का भार = 740 g

तथा छोटे गोले का व्यास = 5 cm

अत: दिये गये छोटे गोले की त्रिज्या = 5/2 = 2.5 cm

अत: बड़े गोले की त्रिज्या = ?

मान लिया कि बड़े गोले की त्रिज्या = R

अब बड़े गोले की त्रिज्या : छोटे गोले की त्रिज्या = बड़े गोले का भार : छोटे गोले का भार

⇒ R : 2.5 cm = 5920 g : 740 g

`=>R/(2.5 cm) = 5920/740`

`=> R = (5920 xx 2.5)/740` cm

⇒ R = 8 × 2.5 cm

⇒ R = 20 cm

अत: बड़े गोले की त्रिज्या = 20 cm उत्तर