पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (6) कोई स्कूल अपने विद्यार्थियों को प्रत्येक दिन 7 cm व्यास वाले बेलनाकार गिलासों में दूध देता है। यदि गिलास दूध से 12cm ऊँचाई तक भरा रहता है, तो ज्ञात कीजिए कि 1600 विद्यार्थियों के लिए कितने लीटर दूध की आवश्यकता होगी?

हल

दिया गया है, बेलनाकार गिलास का व्यास = 7 cm

अत: बेलनकार गिलास की त्रिज्या = 7/2 = 3.5 cm

तथा गिलास में भरे जाने वाले दूध की ऊँचाई = 12 cm

तथा विद्यार्थियों की कुल संख्या = 1600

अत: सभी विद्यार्थियों के लिए कुल दूध की प्रतिदिन आवश्यकता = ?

यहाँ एक विद्यार्थी के लिए दूध की आवश्यकता = एक गिलास में दिये गये ऊँचाई तक भरे जाने वाले दूध का आयतन

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन = ℼ r² h

अत: दिये गये एक गिलास में भरे जाने वाले दूध का आयतन

= ℼ (3.5 cm)² × 12 cm

= `22/7` 3.5 cm × 3.5 cm × 12 cm

= 22 × 0.5 cm × 3.5 cm × 12 cm

= 22 × 21 cm³

= 462 cm³

अत: एक विद्यार्थी के लिए आवश्यक दूध का आयतन

= 462 cm³

= 462/1000 = 0.462 लीटर

अत: 1600 विद्यार्थियों के लिए आवश्यक दूध का आयतन

= 0.462 Litre × 1600 = 739.200 Litre

अत: दिये गये सभी विद्यार्थियों के लिए प्रतिदिन आवश्यक दूध की मात्रा (आयतन) = 739.200 लीटर उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (7) 2.5 m लम्बे और 1.75 m त्रिज्या वाले एक बेलनाकार रोलर (Roller) को जब सड़क पर रोल किया गया तो पाया गया कि उसने 5500 m² के क्षेत्रफल को तय कर लिया है। रोलर ने कितने चक्कर लगा लिये थे?

हल

दिया गया है बेलनाकार रोलर की लम्बाई (h) = 2.5 m

तथा दिये गये बेलनाकार रोलर की त्रिज्या = 1.75 m

तथा रोलर को सड़क पर रोल करने पर तय किया गया क्षेत्रफल = 5500 m²

अत: इस दिये गये क्षेत्रफल के लिए रोलर द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या = ?

यहाँ रोलर द्वारा एक चक्कर में तय किया जाने वाला क्षेत्रफल = दिये गये बेलनाकार रोलर के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि एक बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 2 ℼ r h

अत: दिये गये बेलनाकार रोलर के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 ℼ 1.75 m × 2.5 m

= ℼ × 2 × 1.75 m × 2.5 m

= `22/7` × 3.5 m × 2.5 m

= 22 × 0.5 m × 2.5 m

= 22 × 1.25 m²

= 27.5 m²

अत: दिये गये बेलनाकार रोलर के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 27.5 m²

अत: रोलर द्वार एक चक्कर लगाने में तय किया जाने वाला क्षेत्रफल = 27.5 m²

चूँकि 27.5 m² क्षेत्रफल को तय करने में रोलर द्वारा लगाये जाने वाले चक्कर की संख्या = 1

अत: 1 m² के क्षेत्रफल को तय करने में रोलर द्वारा लगाये जाने वाले चक्कर की संख्या = 1/27.5 m²

अत: 5500 m² क्षेत्रफल को तय करने में रोलर द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या `=1/(27.5 m^2)xx5500m^2`

= 200 चक्कर

अत: दिये गये क्षेत्रफल को तय करने में रोलर द्वारा लगाये गये चक्करों की संख्या

= 200 उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (8) 5000 जनसंख्या वाले एक छोटे गाँव में प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 75 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 40 m × 25 m × 15 m मापन की एक उपरि टंकी है। इस टंकी का पानी कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?

हल

दिया गया है गाँव की जनसंख्या = 5000

प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की खपत = 75 लीटर

पानी के टंकी की लम्बाई (`l`) = 40 m

तथा पानी के टंकी की चौड़ाई (b) = 25 m

तथा पानी के टंकी की ऊँचाई (h) = 15 m

अत: दिनों की संख्या जिसके लिए टंकी का पानी पर्याप्त होगा = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभाकार टंकी का आयतन `=lxxbxxh`

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी का आयतन =

= 40 m × 25 m × 15 m

= 1000 m² × 15 m

= 15000 m³

अत: दिये गये टंकी का आयतन = 15000 m³

टंकी के पानी के खपत के दिनों की संख्या की गणना

हम जानते हैं कि, 1 m³ = 1000 लीटर

अत: 15000 m³ = 15000000 लीटर

अब प्रश्न के अनुसार, प्रति व्यक्ति पानी की खपत = 75 लीटर तथा गाँव की कुल जनसंख्या = 5000

अत: कुल जनसंख्या के लिए 1 दिन में पानी की खपत = 5000 × 75 लीटर

अत: कुल जनसंख्या के लिए प्रति दिन पानी की खपत = 375000 लीटर

टंकी में पानी की कुल मात्रा = 15000000 लीटर

चूँकि 375000 लीटर पानी पर्याप्त है 1 दिन के लिए

अत: 1 लीटर पानी पर्याप्त है `1/375000` दिनों के लिए

अत: 15000000 लीटर पानी पर्याप्त है `1/375000xx15000000` दिनों के लिए

= 40 दिन

अत: दिये गये टंकी का पानी की कुल जनसंख्या के लिए 40 दिनों के लिए पर्याप्त है। उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (9) एक दुकानदार क़े पास 5 cm त्रिज्या का एक लड्डू है। इतनी ही सामग्री से 2.5 cm त्रिज्या वाले कितने लड्डू बनाये जा सकते हैं?

Solution

दिया गया है, एक लड्डू की त्रिज्या = 5 cm

अत: इस दिये गये लड्डू से 2.5 cm त्रिज्या वाले लड्डू बनाये जाने की संख्या = ?

यहाँ चूँकि लड्डू गोलाकार होता है

अत: 2.5 cm त्रिज्या वाले लड्डू की संख्या = 5 cm त्रिज्या वाले लड्डू का आयतन/ 2.5 cm त्रिज्या वाले लड्डू का आयतन

हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: 2.5 cm त्रिज्या वाले लड्डू का आयतन

`=(4/3xxpi\ (5cm)^3)/(4/3xxpi\(2.5cm)^3)`

= 125 cm / 6.25 cm

= 8 लड्डू

अत: दिये गये बड़े लड्डू से कुल छोटे लड्डू बनाये जाने की संख्या = 8 उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.3 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (10) 6 cm, 8 cm और 10 cm वाले एक समकोण त्रिभुज को उसकी 8 cm वाली भुजा के परित: घुमाया जाता है। इस प्रकार बनने वालें ठोस का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समकोण त्रिभुज की भुजाएँ = 6 cm, 8 cm और 10 cm

तथा दिये गये त्रिभुज को उसकी 8 cm वाली भुजा के परित: घुमाया जाता है।

अत: इस प्रकार बनने वाले ठोस का आयतन और वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = ?

यहाँ चूँकि दिये गये समकोण त्रिभुज को उसकी 8 cm वाले भुजा के परित: घुमाया जाता है

अत: इस प्रकार बने शंकु की त्रिज्या = 6 cm

तथा शंकु की ऊँचाई = 8 cm

तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 10 cm

हम जानते हैं कि, एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: प्रश्न में बने हुए शंकु का आयतन

= `1/3xx22/7` × (6 cm)² × 8 cm

= `22/21` × 36 cm² × 8 cm

= `22/21` 288 cm³

= 301.71 cm³

अत: प्रश्न में दिये गये शंकु का आयतन = 301.71 cm²

हम जानते हैं कि शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = ℼ r `l`

अत: दिये गये शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= `22/7` 6 cm × 10 cm

= `22/7` 60 cm²

= 188.571 cm²

अत: दिये गये शंकु का आयतन = 301.71 cm³ और वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 188.571 cm² उत्तर