पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (1) दोनों ओर से खुली एक बेलनाकार ट्यूब एक लोहे की चादर की बनी है जिसकी मोटाई 2 cm है। यदि इसका व्यास 16 cm और लम्बाई 100 cm है तो ज्ञात कीजिए कि इस ट्यूब के बनाने में कितने cm³ लोहे का प्रयोग किया गया है?

हल

दिया गया है, बेलनाकार लोहे के ट्यूब की लम्बाई = 100 cm

तथा इस ट्यूब की मोटाई = 2 cm

ट्यूब का व्यास [(बाहरी) अंग्रेजी माध्यम के किताब में बाहरी व्यास को स्पष्ट किया गया है] = 16 cm

यह टूब दोनों ओर से खुला हुआ है (अंग्रेजी माध्यम के किताब में इसे भी स्पष्ट किया गया है), अत: ट्यूब को बनाने में लगे लोहे का आयतन = ?

चूँकि लोहे के ट्यूब का बाहरी व्यास = 16 cm तथा उसकी मोटाई = 2 cm

अत: लोहे के ट्यूब की बाहरी त्रिज्या = 16/2 = 8 cm

और दिये गये ट्यूब की आंतरिक त्रिज्या = बाहरी व्यास – मोटाई

= 8 cm – 2 cm = 6 cm

तथा यहाँ ट्यूब की लम्बाई = ट्यूब की ऊँचाई = 100 cm

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन = ℼ r² h

अत: दिये गये बेलनाकार ट्यूब का बाहरी आयतन

= ℼ (8 cm)² × 100 cm

= ℼ × 64 cm² × 100 cm

= ℼ × 6400 cm³

अत: ट्यूब का कुल आयतन = ℼ × 6400 cm³

तथा दिये गये ट्यूब का आंतरिक आयतन

= ℼ × (6 cm)² × 100 cm

= ℼ 36 cm² × 100 cm

= ℼ 3600 cm³

अत: ट्यूब का आंतरिक आयतन = ℼ 3600 cm³

दिये गये ट्यूब को बनाने में लगे लोहे का आयतन = ट्यूब का बाहरी आयतन – ट्यूब का आंतरिक आयतन

= ℼ × 6400 cm³ – ℼ 3600 cm³

= ℼ (6400 cm³ – 3600 cm³)

= `22/7` × 2800 cm³

= 22 × 400 cm³

= 8800 cm³

अत: दिये गये ट्यूब को बनाने में लगे लोहे की मात्रा

= 8800 cm³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (2) 28 cm व्यास वाली एक अर्धवृत्ताकार धातु की चादर को मोड़कर एक शंकु के आकार का खुला कप बनाया गया है। इस कप की धारिता ज्ञात कीजिए।

दिया गया है, अर्धगोलाकार धातु की दादर का व्यास = 28 cm

अत: इस अर्धगोलाकार धातु की चादर की त्रिज्या = 28/2 = 14 cm

तथा प्रश्न के अनुसार इस अर्धगोलाकार लोहे की चादर को मोड़कर एक शंकु के आकार का खुला कप बनाया गया है।

अत: दिये गये शंक्वाकार कप की ऊँचाई = दिये गये धातु के चादर की त्रिज्या = 14 cm

तथा शंक्वाकार कप की त्रिज्या = 14 cm

अत: शंक्वाकार कप की धारिता, अर्थात शंक्वाकार कप का आयतन = ?

हम जानते हैं कि, एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंक्वाकार कप का आयतन

= `1/3xx22/7` × ( 14 cm )² × 14 cm

= `(1xx22)/3` × 14 cm × 14 cm × 2 cm

= 22/3 × 392 cm³

= 2874.66 cm³

अत: दिये गये शंक्वाकार कप की धारिता

= 2874.66 cm³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (3) 165 m² क्षेत्रफल वाले एक कपड़े को 5 m त्रिज्या वाले एक शंक्वाकार तम्बू के रूप में बनाया जाता है।

(i) इस तम्बू में कितने विद्यार्थी बैठ सकते हैं, यदि औसतन एक विद्यार्थी भूमि पर 5/7 m² स्थान घेरता है?

(ii) इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, तम्बू बनाने में उपयोग किये गये कपड़े का क्षेत्रफल = 165 m²

तथा इस कपड़े से बनाये गये शंक्वाकार तम्बू की त्रिज्या = 5 m

तथा एक विद्यार्थी द्वारा बैठने के क्रम में घेरने वाले जगह का क्षेत्रफल = 5/7 m²

अत: (i) इस तम्बू में बैठ सकने वाले विद्यार्थियों की संख्या = ?

तथा (ii) इस दिये गये शंक्वाकार तम्बू का आयतन = ?

(i) इस तम्बू में कितने विद्यार्थी बैठ सकते हैं, यदि औसतन एक विद्यार्थी भूमि पर 5/7 m² स्थान घेरता है?

तथा दिया गया है, शंक्वाकार तम्बू के आधार की त्रिज्या = 5 m

यहाँ यह स्पष्ट है कि विद्यार्थी तम्बू में फर्श पर ही बैठेंगे, तथा चूँकि तम्बू शंक्वाकार है, अत: फर्श गोलाकार है।

हम जानते हैं कि, एक वृत्त का क्षेत्रफल = ℼ r²

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के आधार का क्षेत्रफल = ℼ (5 m)²

= ℼ 25 m²

अब चूँकि 5/7 m² में बैठ सकने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 1

अत: 1 m² में बैठ सकने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 1 / 5/7 = 7/5

अत: ℼ 25 m² में बैठ सकने वाले विद्यार्थियों की संख्या

`=7/5xx22/7xx25`

= 22 × 5 = 110

अत: इस दिये गये शंक्वाकार तम्बू में बैठ सकने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या = 110 उत्तर

(ii) इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

यहाँ प्रश्न के अनुसार तम्बू को बनाने में लगे कपड़े का क्षेत्रफल = 165 m² = शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

तथा शंक्वाकार तम्बू की त्रिज्या = 5 m

शंक्वाकार तम्बू के तिर्यक ऊँचाई की गणना

मान लिया कि दिये गये शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई `=l`

हम जानते हैं कि, एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 165 m² = 22/7 × 5 m × `l`

`=>l = (165 m^2xx7)/(22xx5)`

⇒ दिये गये शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 10.5 m

दिये गये शंक्वाकार तम्बू के ऊँचाई की गणना

हम जानते हैं कि, एक शंकु की (तिर्यक ऊँचाई)² = r² + h²

⇒ (10.5 m)² = (5 m)² + h²

⇒ 110.25 m = 25 m² + h²

⇒ h² = 110.25 m² – 25 m²

⇒ h² = 85.25 m²

⇒ h = 9.233 m

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई = 9.233 m

दिये गये शंक्वाकार तम्बू के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, एक शंकु का आयतन = 1/3 ℼ r² h

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू का आयतन

= 1/3 × 22/7 × (5 m)² × 9.233 m

= 22/21 × 25 m² × 9.233 m

= 22/21 × 230.825 m³

= 241.816 m³

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू का आयतन = 241.816 m³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (4) किसी फैक्ट्री के लिए पान्नी एक अर्धगोलाकार टंकी में संचरित किया जाता है जिसका आंतरिक व्यास 14 m है। इस टंकी में 50 किलोलीटर पानी है। इस टंकी को पूरा भरने के लिए पानी पम्प द्वारा भरा जाता है। टंकी में पम्प द्वारा भरे गये पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, अर्धगोलाकार टंकी का व्यास = 14 m

अत: इस अर्धगोलाकार टंकी की त्रिज्या = 14/2 = 7 m

टंकी में पूर्व से भरे हुए पानी का आयतन = 50 किलोलीटर = 50 m³

इस टंकी को पम्प से पानी से पूरा भरा जाता है।

अत: टंकी में पम्प द्वारा भरे गये पानी का आयतन = ?

यहाँ तंकी में पम्प द्वारा भरे गये पानी का आयतन = टंकी का आयतन – टंकी में पूर्व से वर्तमान पानी का आयतन

हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का आयतन = 2/3 ℼ r³

अत: दिये गये अर्धगोलाकार टंकी का आयतन

= 2/3 × 22/7 × (7m)³

= 2/3 × 22/7 × 7 m × 7 m × 7 m

= 2/3 × 22 × 1 m × 7 m × 7 m

= 44/3 × 49 m³

= 718.66 m³

अत: दिये गये अर्धगोलाकार टंकी का आयतन अर्थात धारिता = 718.66 m³

अत: टंकी में पम्प द्वारा भरे गये पानी का आयतन = टंकी की कुल धारिता – टंकी में पूर्व से वर्तमान पानी का आयतन

= 718.66 m³ – 50 m³

= 668.66 m³

अत: टंकी में पम्प द्वारा भरे गये पानी का आयतन = 668.66 किलोलीटरउत्तर