पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (5) दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, दो गोलों के आयतनों का अनुपात = 64 : 27

अत: दिये गये गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = ?

हम जानते हैं कि, गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये दो गोले जिनकी त्रिज्याएँ मान लिया कि क्रमश: R और r हैं के आयतन का अनुपात

= 4/3 ℼ R³ : 4/3 ℼ r³

= R³ : r³

अत: दो गोलों के आयतनों का अनुपात = दोनों गोलों के त्रिज्याओं के घन का अनुपात

⇒ 64 : 27 = (4)³ : (3)³

अत: बड़े वाले गोले की त्रिज्या (R) = 4

तथा छोटे वाले गोले की त्रिज्या (r) = 3

हम जानते हैं कि, एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 ℼ r²

अत: दिये गये गोले जिनकी त्रिज्याएँ क्रमश: R और r हैं के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

= 4 ℼ R² : 4 ℼ r²

= R² : r²

अत: दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = गोलों की त्रिज्याओं के वर्ग का अनुपात

अत: दिये गये गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

= 4² : 3²

= 16 : 9

अत: दिये गये गोलों के पृष्ठीय क्षेतफलों का अनुपात = 16 : 9 उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (6) 4 cm भुजा वाले एक घन के अंदर एक गोला है जो उसकी भुजाओं को स्पर्श करता है। इन दोनों के बीच में रिक्त स्थान का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, घन की भुजा = 4 cm

तथा इस घन के अंदर इसकी भुजाओं को स्पर्श करता हुआ एक गोला है।

अत: गोले तथा घन की भुजाओं के बीच के रिक्त स्थान का आयतन = ?

यहाँ गोले तथा घन के बीच रिक्त स्थान का आयतन = घन का आयतन – गोले का आयतन

घन के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, घन का आयतन = (side)³

अत: दिये गये घन का आयतन = (4 cm)³

= 64 cm³

अत: दिये गये घन का आयतन = 64 cm³

दिये गये गोले के आयतन की गणना

चूँकि दिया गया गोला जो घन के अंदर है, घन की भुजाओं को स्पर्श करता है

अत: गोले का व्यास = घन की भुजा = 4 cm

अत: गोले की त्रिज्या = 4/2 = 2 cm

हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

अत: दिये गये गोले का आयतन = 4/3 ℼ (2 cm)³

= 4/3 × 22/7 × 8 cm³

= 88/21 × 8 cm³

= 33.524 cm³

अत: दिये गये गोले का आयतन = 33.524 cm³

गोले और घन के बीच रिक्त स्थान के आयतन की गणना

यहाँ गोले तथा घन के बीच रिक्त स्थान का आयतन = घन का आयतन – गोले का आयतन

= 64 cm³ – 33.524 cm³

= 30.476 cm³

अत: गोले और घन की भुजाओं के बीच रिक्त स्थान का आयतन = 30.476 cm³ उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (7) एक ही त्रिज्या वाले एक गोले और एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन बराबर हैं। बेलन का व्यास उसकी ऊँचाई से कितने प्रतिशत अधिक है?

हल

दिया गया है, लम्ब वृत्तीय बेलन और गोले की त्रिज्या और आयतन बराबर है।

अत: बेलन का व्यास उसकी ऊँचाई से कितने प्रतिशत अधिक है?

मान लिया गोले और लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या = r

तथा मान लिया कि लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई = h

हम जानते हैं कि, एक गोले का आयतन = 4/3 ℼ r³

तथा एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन = ℼ r² h

अब प्रश्न के अनुसार,

गोले का आयतन = लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन

⇒ 4/3 ℼ r³ = ℼ r² h

⇒ 4/3 r = h

⇒ r = 3/4 h

अत: लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या = 3/4 h

अत: लम्ब वृत्तीय बेलन का व्यास `=2xx3/4h`

⇒ बेलन का व्यास = 3/2 h

⇒ बेलन का व्यास = 1.5 h

अत: बेलन के व्यास और ऊँचाई में अंतर = 1.5 h – h = 0.5 h

चूँकि यदि बेलन की उँचाई h है तो उसका व्यास= 0.5 h अधिक है

अत: यदि बेलन की ऊँचाई 1, है तो व्यास `(0.5h)/h=0.5` अधिक है।

अत: यदि बेलन की ऊँचाई 100 है तो व्यास = 0.5 × 100 = 50% अधिक है।

अत: बेलन का व्यास उसकी ऊँचाई से 50% अधिक है। उत्तर

एनसीईआरटी एक्सेम्पलार प्रश्नावली 13.4 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित   प्रश्न संख्या (8) 30 वृत्ताकार प्लेटों को जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 14 cm और मोटाई 3 cm है, एक के ऊपर एक रखकर एक बेलनाकार ठोस बनाया जाता है। इस प्रकार बने बेलन का ज्ञात कीजिए:

(i) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) आयतन

हल

दिया गया है, एक वृत्ताकार प्लेट की मोटाई = 3 cm

तथा वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या = 14 cm

तथा कुल वृत्ताकार प्लेटों की संख्या जिन्हें एक के ऊपर रखकर बेलन का आकार दिया गया है = 30

अत: वृत्ताकार प्लेट द्वारा बने बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन = ?

(i) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

यहाँ चूँकि कुल वृत्ताकार प्लेटों की संख्या, जिन्हें एक के ऊपर एक रखकर बेलन बनाया गया है = 30 और प्रत्येक प्लेट की मोटाई = 3 cm

अत: इस तरह बने बेलन की कुल ऊँचाई

= एक वृत्ताकार प्लेट की मोटाई × प्लेट की कुल संख्या

= 3 cm × 30 = 90 cm

तथा एक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या = 14 cm

हम जानते हैं कि, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r (r + h)

अत: दिये गये बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22/7 × 14 cm × (14 cm + 90 cm)

= 44 × 2 cm × 104 cm

= 44 × 208 cm²

= 9152 cm²

अत: प्रश्न में बनाये गये बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 9152 cm² उत्तर

(ii) आयतन

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन

= ℼ r² h

= 22/7 × (14 cm)² × 90 cm

= 22/7 × 14 cm × 14 cm × 90 cm

= 22 × 2 cm × 14 cm × 90 cm

= 22 × 2520 cm³

= 55440 cm³

अत: प्रश्न में बने बेलन का आयतन = 55440 cm³ उत्तर