पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (6) एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है, तो इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है,

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 m²

और त्रिज्या (r) = 0.7 m

अत: बेलन की ऊँचाई = ?

हम जानते हैं कि बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h

⇒ 4.4 m²= 2 × `22/7` × 0.7 m × h

⇒ 4.4 m² = 2 × 22 × 0.1 m × h

⇒ 4.4 m² = 44 × 0.1 m × h

⇒ 4.4 m² = 4.4 m × h

`=>h = (4.4m^2)/(4.4m)`

⇒ h = 1 m

अत: दिये गये बेलन की ऊँचाई = 1 m उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (7) किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 m है और यह 10 m गहरा है। ज्ञात कीजिए

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) 40 रूपये प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय

हल:

दिया गया है, कुएँ का आंतरिक व्यास = 3.5 m

अत: आंतरिक त्रिज्या (r) = 3.5/2 m = 1.75 m

कुएँ की गहराई (h) = 10 m

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =?

हम जानते हैं कि एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h

अत: दिये गये कुएँ, जो बेलनाकार है, का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 1.75 m × 10 m

= 2 × 22 × 0.25 m × 10 m

= 44 × 2.5 m

=110 m2

अत: दिये गये कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 m² उत्तर

(ii) 40 रूपये प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय =?

प्रश्न के अनुसार कुएँ को प्लास्टर करने की दर = 40 रूपये प्रति m²

अत: 110 m² को प्लास्टर करने का व्यय

= 40 × 110 = Rs 4400

अत: कुएँ के आंतरिक वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर करने का व्यय = 4400 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (8) गरम पानी द्वार गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लम्बाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है।

हल

दिया गया है, पाइप की लम्बाई = 28 m

और पाइप का व्यास = 5 cm

= 5/100 m = 0.05 m

अत: पाइप की त्रिज्या (r) = 0.05/2 m

⇒ त्रिज्य (r) = 0.025 m

अत: पाइप (संयंत्र) का गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = ?

यहाँ चूँकि पाइप के बाहरी वक्र पृष्ठ से गर्मी का विकिरण होता है, अत: पाइप के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ही उसका गर्मी देने वाला पृष्ठ होगा।

अब हम जानते हैं कि एक बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 π r h

अत: दिये गये पाइप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 0.025 m × 28 m

= 2 × 22 × 0.025 m × 4 m

= 44 × 0.1 m²

= 4.4 m²

अत: दिये गये पाइप का गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = 4.4 m² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (9) ज्ञात कीजिए

(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टकिया का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है।

(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का `1/12` भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

हल:

दिया गया है,

बेलनाकार पेट्रोल टंकी का व्यास = 4.2 m

अत: पेट्रोल टंकी की त्रिज्या (r) = 4.2/2 m

⇒ त्रिज्या (r) = 2.1 m

और पेट्रोल टंकी की ऊँचाई = 4.5 m

टंकी को बनाने में नष्ट होने वाला इस्पात का भाग = टंकी को बनाने में लगे कुल इस्पात का 1/2 भाग

अत: दिये गये पेट्रोल टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

और टंकी को बनाने में कुल लगा इस्पात =?

(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टकिया का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है।

हम जानते हैं कि एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r h

अत: दिये गये बेलनाकार पेट्रोल टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 2.1 m × 4.5 m

= `44/7` × 9.45 m²

= 59.4 m²

अत: दिये गये बेलनाकार टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 59.4 m² उत्तर

(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का `1/12` भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

पेट्रोल टंकी के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

टंकी में लगा कुल इस्पात = टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि एक बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल

यहाँ दिये गये पेट्रोल टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 59.4 m²

[जैसा कि प्रश्न के खंड (i) में गणना की गयी है।]

यहाँ टंकी की त्रिज्या = 2.1 m

अत: दिये गये बंद पेट्रोल टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 59.4 + (2 × π r²)

= 59.4 + (2 × `22/7` × 2.1 × 2.1)

= 59.4 + (2 × 22 × 0.3 × 2.1)

= 59.4 + 27.72 = 87.12 m²

अत: दिये गये बंद बेलनाकार पेट्रोल टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 87.12 m²

पेट्रोल टंकी को बनाने लगे कुल इस्पात की गणना

मान लिया कि टंकी को बनाने में लगा कुल इस्पात `=x`

तथा प्रश्न के अनुसार टंकी को बनाने में लगे इस्पात का नष्ट हुआ भाग = कुल इस्पात का 1/12 भाग

⇒ नष्ट हुआ इस्पात `=(1x)/12`

अत: वास्तव में उपयोग हुए कुल इस्पात का भाग `= 11/12\xx\x`

अत: वास्तव में उपयोग हुए इस्पात का क्षेत्रफल `= 11/12\xm^2`

`=> 11/12\x = टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=>11/12\x = 87.126`

`=>x = 87.12 xx12/11`

⇒ x = 95.04 m²

अत: पेट्रोल टंकी में उपयोग हुआ कुल इस्पात = 95.04 m² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (10) आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढ़का जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढ़कने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

हल

दिया गया है, लैंपशेड के आधार का व्यास = 20 cm

अत: लैंपशेड के आधार की त्रिज्या = 20/2= 10 cm

और लैंपशेड की ऊँचाई = 30 cm

और लैंपशेड को ढ़कने के लिए कपड़े का फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए छोड़ा जाने वाला अतिरिक्त कपड़ा = 2.5 cm

अत: लैंप शेड की कुल आभासी ऊँचाई जिसे कपड़े से ढ़का जाना है। = लैंपशेड की ऊँचाई + कपड़े का छोड़ा जाने वाला मार्जिन

= 30 cm + 2.5 cm + 2.5 cm

अत: लैंप शेड की कुल आभासी ऊँचाई = 35 cm

अत: लैंपशेड को ढ़कने के लिए आवश्यक कपड़ा = ?

अब लैंपशेड को ढ़कने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल = लैंपशेड की आभासी ऊँचाई के साथ लैंपशेड का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r h

= 2 × `22/7` × 10 cm × 35 cm

= 2 × 22 × 10 cm × 5 cm

= 440 cm × 5 cm

= 2200 cm ²

अत: लैंपशेड को ढ़कने के लिए आवश्यक कपड़ा = 2200 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.2 प्रश्न संख्या (11) किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाए और सजाने की प्रतियोगिता में भगा लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी हे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना होगा?

हल

दिया गया है, कलमदान की त्रिज्या = 3 cm

और कलमदान की ऊँचाई = 10.5 cm

विद्यालय में कुल प्रतियोगियों की संख्या जिनके द्वारा कलमदान बनाया जाना है = 35

अत: कलमदान बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = ?

यहाँ एक कलमदान बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = एक कलमदान का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= कलमदान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + कलमदान के आधार का क्षेत्रफल

अत: कुल 35 कलमदान बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल

= 35(एक कलमदान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + एक कलमदान के आधार का क्षेत्रफल)

= 35(2 π r h + π r²)

= 35 × π r (2 h + r)

`=35xx22/7xx3(2xx10.5+3)`

= 5 × 22 × 3 (21 + 3)

= 110 × 3 × 24

= 110 × 72

= 7920 cm²

अत: विद्यालय द्वारा खरीदे जाने वाले आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 7920 cm² उत्तर