पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

महत्वपूर्ण सूत्र

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=pi \ r\ l`

जहाँ r = आधार की त्रिज्या और `l` = तिर्यक ऊँचई

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=pi \ r(l+r)`

एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3 के प्रश्न और उनके हल उत्तर सहित

जब तक अन्यथा न कहा जाये, `p=22/7` लीजिए।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (1) एक शंकु क़े आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, शंकु के आधार का व्यास = 10.5 cm

अत: दिये गये शंकु की त्रिज्या = 10.5/2 = 5.25 cm

तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 10 cm

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= pi r l`

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`= 22/7 xx 5.25 xx 10\ cm^2`

= 22 × 0.75 xx 10 cm²

= 22 × 7.5 cm²

= 165 cm²

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 165 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (2) एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m और आधार का व्यास 24 m है।

हल

दिय गया है, शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 21 m

तथा शंकु के आधार का व्यास = 24 m

अत: दिये गये शंकु की त्रिज्या (r) = 12 m

अत: दिये गये शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= pi r (l + r)`

अत: दिये गये शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=22/7 xx 12 (21+ 12)`

`=22/7 xx 12 xx 33`

= 1244.57 m²

अत: दिये गये शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1244.57 m² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (3) एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए

(i) आधार की त्रिज्या

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल

दिया गया है, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308 cm²

और शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 14 cm

अत: दिये गये शंकु के (i) आधार की त्रिज्या और (ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

(i) शंकु के आधार की त्रिज्या

हम जानते हैं कि एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ℿ r `l`

अत: दिये गये शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= `22/7` × r × 14

⇒ 308 = `22/7` × r × 14

⇒ 308 = 22 × r × 2

⇒ 308 = 44 r

`=>r=308/44`

⇒ r = 7 cm

अत: दिये गये शंकु के आधार की त्रिज्या = 7 cm उत्तर

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= pi\ r (r + l)`

अत: दिये गये शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= `22/7` × 7 (7 + 14)

= 22 × (7 + 14)

= 22 × 21

= 462 cm²

अत: दिए गये शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (4) शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

(ii) तंबू में लगे कैनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m² कैनवास की लागत 70 रूपये है।

हल

दिया गया है, शंकु के आकार के तम्बू की ऊँचाई = 10 m

और शंकु के आकार के तम्बी के आधार की त्रिज्या = 24 m

अत: (i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई और (ii) 70 रूपये प्रति m² की दर से तम्बू में लगे कैनवास की लागत =?

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

एक शंकु में उसकी ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

अत: शंकु की (तिर्यक ऊँचाई)² = (ऊँचाई)² + (त्रिज्या)²

अत: दिये गये शंकु के आकार के तम्बू की {तिर्यक ऊँचाई (`l`)}²

= (10² )+(24)²

⇒ `l^2` = 100 + 576

⇒ `l^2 = 676`

`=>l=sqrt(676)`

⇒ `l` = 26 m

दिये गये तम्बू की तिर्यक ऊँचई = 26 m उत्तर

(ii) तंबू में लगे कैनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m² कैनवास की लागत 70 रूपये है।

यहाँ तम्बू में लगे कैनवास का क्षेत्रफल = शंकु के आकार का दिये गये तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि एक कोण का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

अत: दिये गये शंकु के आकार के तम्बू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= `22/7` × 24 × 26 m²

=`22/7` × 624 m²

= `13728 /7` m²

अत: तम्बू में लगे कैनवास का क्षेत्रफल `=13728/7\m^2`

कैनवास के लागत की गणना

प्रश्न के अनुसार कैनवास की दर = 70 रूपये प्रति वर्ग मीटर

अत: कैनवास की लागत = कैनवास का क्षेत्रफल × कैनवास की दर

`= 13728/7xx 70`

= Rs 137280.00

अत: तम्बू बनाने के लिए कैनवास की लागत = 137280.00 रूपये उत्तर