पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (5) 8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु कईं आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (ℿ = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हल

दिया गया है, शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई = 8 m

और तम्बू के आधार की त्रिज्या = 6 m

और तम्बू बनाने के लिए तिरपाल की चौड़ाई = 3 m

और सिलाई और मार्जिन के लिए अतिरिक्त तिरपाल = 20 cm

= 20/100 = 0.2 m

और ℿ = 3.14

अत: तम्बू बनाने के लिए आवश्यक तम्बू = ?

यहाँ तम्बू बनाने के लिए आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

अब हम जानते हैं कि एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=pi\r\l`

अत: यहाँ दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम तम्बू की तिर्यक ऊँचाई का ज्ञात किया जाना आवश्यक है।

अब चूँकि एक शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं

अत: [तिर्य्क ऊँचाई (`l`)]² = (h)² + (r)²

अत: दिए गये [तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]² =

= (8)² + (6) ²

⇒ `l^2` = 64 m² + 36 m²

⇒ `l^2` = 100 m²

⇒ `l = sqrt(100\ m^2)`

⇒ `l`=10 m

अत: दिये गये तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 10 m

अब हम जानते हैं कि एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `= pi\ r\ l`

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

= 3.14 × 6 m × 10 m

= 3.14 × 60 m²

= 188.40 m²

अत: दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 188.40 m²

अब हम जानते हैं कि दिये गये शंक्वाकार तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = तिरपाल का क्षेत्रफल

[यहाँ मान लिया कि तिरपाल की लम्बाई = `l` और तिरपाल की चौड़ाई= b]

⇒ 188.4 m² = `l` × b

⇒ 188.4 m²= `l` × 3 m

⇒ `l = (188.4\ m^2)/(3\ m)`

⇒ `l` = 62.8 m

अत: तम्बू को बनाने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई = 62.8 m

अब, तम्बू को बनाने के लिए लगने वाले तिरपाल का कुल लम्बाई = तिरपाल की लम्बाई + 20 cm मर्जिन आदि के लिए अतिरिक्त तिरपाल

प्रश्न के अनुसार मार्जिन आदि के लिए अतिरिक्त तिरपाल की आवश्यकता = 20 cm = 0.2m

अत: तम्बू बनाने के लिए आवश्यक कुल तिरपाल की लम्बाई

= 62.8 m + 0.2 m

= 63 m

अत: तम्बू बनाने के लिए दिये गये तिरपाल की लम्बाई = 63 m उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (6) शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमश: 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रूपये प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, गुम्बद की तिर्यक ऊँचाई = 25 m

और गुम्बद के आधार का व्यास = 14 m

अत: गुम्बद की त्रिज्या (r) = 14/2 = 7 m

सफेदी कराने की दर = 210 रूपये प्रति 100 m²

अत: दिये गये गुम्बद को सफेदी कराने का व्यय = ?

अब हम जानते हैं कि एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रपल `=pi\ r\ l`

अत: दिये गये शंकु के आकार वाए गुम्बद के वक्र पृष्ठ क क्षेत्रफल

=`22/7` × 7 m × 25 m

= 22 × 25 m²

= 550 m²

अत: दिये गये गुम्बद का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 m², जिसकी सफेदी कराया जाना है।

गुम्बद को सफेदी कराने के लागत की गणना

चूँकि प्रश्न के अनुसार 100 m² के लिए सफेदी कराने का व्यय = 210 रूपये

अत: 1 m² के लिए सफेदी कराने का व्यय `=210/100 = 2.1`

अत: 550 m² के लिए सफेदी कराने का व्यय = 2.1 × 550 = 1155 रूपये

अत: दिये गये गुम्बद को सफेदी कराने का व्यय = 1155.00 रूपये उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (7) एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, शंक्वाकार जोकर के टोपी की त्रिज्या = 7 cm

शंक्वाकार जोकर टोपी की ऊँचाई = 24 cm

अत: इस दिये गये जोकर के शंक्वाकार 10 टोपी बनाने में आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = ?

यहाँ शंक्वाकार जोकर टोपी बनाने में लगने वाले आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = दिये गये शंक्वाकार टोपी के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

अब हम जानते हैं कि शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

अत: शंक्वाकार जोकर टोपी के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल की गणना के लिए सर्वप्रथम टोपी की तिर्यक ऊँचाई की गणना आवश्यक है।

शंक्वाकार जोकर टोपी के तिर्यक ऊँचाई की गणना

चूँकि एक शंकु की ऊँचाई, तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,

अत: [शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]²= (r)²+ (h)²

⇒ `l^2` = (7 cm)² + (24 cm)²

⇒ `l^2` = 49 cm² + 576 cm²

⇒ `l^2` = 625 cm²

`=>l=sqrt(625\ cm^2)`

⇒ तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 25 cm

अब दिये गये शंक्वाकार जोकर टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π r l

= `22/7` × 7 cm × 25 cm

= 22 × 25 cm²

= 550 cm²

अत: दिये गये शंक्वाकार जोकर टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 cm²

अत: दिये गये एक जोकर टोपी को बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 550 cm²

अत: दिये गये शंक्वाकार जोकर टोपी की 10 प्रति बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 550 ×10

= 5500 cm²

अत: दिये गये शंक्वाकार जोकर टोपी की 10 प्रति बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 5500 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 13.3   प्रश्न संख्या (8) किसी बस स्टाप को पुराने गते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm और ऊँचाई 1 m है। यदि उन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों ओ पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रूपये प्रति m² है, इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (ℿ = 3.14 और `sqrt(1.04)` = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)

हल :

दिया गया है, शंकु के आधार का व्यास = 40 cm

अत: दिये गये शंकु के आधार की त्रिज्या = 40/2 cm

=20 cm = 20/100 = 0.2 m

और शंकु की ऊँचाई = 1 m

तथा शंकु के बाहरी पृष्ठों को पेंट कराने की दर = 12 रूपये प्रति m²

ℿ = 3.14

तथा, `sqrt(1.04)` = 1.02

तथा कुल शंकुओं की संख्या = 50

अत: सभी 50 शंकुओं को पेंट कराने का व्यय = ?

यहाँ सभी शंकुओं को पेंट कराने का क्षेत्रफल = एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल × 50

अब हम जानते हैं कि एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

अत: शंकु के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल की गणना से पहले शंकु के तिर्यक ऊँचाई की गणना आवश्यक है।

शंकु के तिर्यक ऊँचाई की गणना

अब [शंकु की तिर्यक ऊँचाई (`l`)]² = (ऊँचाई)² + (त्रिज्या)²

⇒ `l^2` = ( 1 m )² + ( 0.2 m )²

⇒ `l^2` = 1 m² + 0.04 m²

⇒ `l^2` = 1.04 m²

`=>l=sqrt(1.04\ m^2)`

⇒ तिर्यक ऊँचाई (`l`) = 1.02 m

अब दिये गये एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल `=pi\ r\ l`

= 3.14 × × 0.2 m × 1.02 m

= 3.14 × 0.204

= 0.64056 m²

अत: दिये गये एक शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 0.64056 m²

अब प्रश्न के अनुसार शंकु के 1 m² पृष्ठ को पेंट कराने की दर = 12 रूपये

अत: एक शंकु के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल अर्थात 0.64056 m² को पेंट कराने का व्यय

= 0.64056 × 12

= 7.68672 रूपये

अत: दिये गये एक कोण को पेंट कराने का व्यय = 7.68672 रूपये

अत: 50 शंकुओं को पेंट कराने का व्यय = 7.68672 रूपये × 50

= 384.336 रूपये = ≃ 384.34 रूपये

अत: दिये गये 50 शंकुओं को पेंट कराने का व्यय = 384.34 रूपये उत्तर