पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.4  प्रश्न संख्या (5) पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। 16 रूपये प्रति 100 cm² की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास = 10.5 cm

अत: इसकी आंतरिक त्रिज्या (r) = 10.5/2 = 5.25 cm

और इस पर कलई कराने की दर = 16 रूपये प्रति 100 cm²

अत: 1 cm² पर कलई कराने में व्यय

= 16/100 रूपये = 0.16 रूपये

हम जानते हैं कि एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r²

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 5.25 cm × 5.25 cm

= 2 × 22 × 0.75 cm × 5.25 cm

= 44 × 3.9375 cm²

= 173.25 cm²

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 173.25 cm²

अब चूँकि 1 cm² पर कलई कराने का खर्च = 0.16 रूपये है।

अत: 173.25 cm², पर कलई कराने का व्याय

= 0.16 × 173.25 रूपये

= 27.72 रूपये

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे के आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय

= Rs 27.72 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.4  प्रश्न संख्या (6) उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154cm² है।

हल

दिया गया है गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 154 cm²

अत: दिये गये गोले की त्रिज्या (r) = ?

हम जानते हैं कि, एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℿ r²

अत: दिये गये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ 154 = 4 × `22/7` × r²

⇒ 154 × 7 = 4 × 22 × r²

⇒ 154 × 7 = 88 × r²

`=>r^2 = (154xx7)/(22xx4)`

`=>r=sqrt((7xx7)/4)`

⇒ r=7/2 cm

⇒ r = 3.5 cm

अत: दिये गये गोले की त्रिज्या

= 3.5 cm उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.4  प्रश्न संख्या (7) चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, चंद्रमा का व्यास = 1/4 × पृथ्वी का व्यास

अत: दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = ?

मान लिया कि चंद्रमा की त्रिज्या = r

अत: चंद्रमा का व्यास = 2r

अब प्रश्न के अनुसार पृथ्वी का व्यास = 4 × चंद्रमा का व्यास

अत: पृथ्वी का व्यास

= 4 ×2 r = 8 r

अत: पृथ्वी की त्रिज्या = 8r/2 = 4r

अब हम जानते हैं कि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r²

अत: चंद्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA_{चंद्रमा})

= 4 ℿ r²

और पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA_{पृथ्वी})

= 4 ℿ (4r)²

= 4 ℿ 16 r²

अत: चंद्रमा के पृष्ठीय क्षेत्रफल और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात

= CSA_{चंद्रमा} : CSA_{पृथ्वी}

= 4 ℿ r² : 4 ℿ 16 r²

`=(4\ pi\ r^2)/(4\ pi\ 16\ r^2)`

= 1/16 = 1:6

अत: चंद्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

= 1 : 16 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.4  प्रश्न संख्या (8) एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, अर्धगोलाकार कटोरे की मोटाई = 0.25 cm

और अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या = 5 cm

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

अब चूँकि दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे की

आंतरिक त्रिज्या = 5 cm, और मोटाई = 0.25 cm

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे की बाहरी त्रिज्या

= आंतरिक त्रिज्या + मोटाई

= 5 cm + 0.25 cm = 5.25 cm

अब, हम जानते हैं कि, एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℼ r²

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × `22/7` × 5.25 cm × 5.25 cm

= 2 × 22 × 0.75 cm × 5.25 cm

= 44 × 3.9375 cm²

= 173.25 cm²

अत: दिये गये अर्धगोलाकार कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 173.25 cm² उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.4  प्रश्न संख्या (9) एक लम्बा वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

हल

दिया गया है गोले की त्रिज्या = r

अत: बेलन की त्रिज्या = r [चूँकि प्रश्न के अनुसार बेलन गोले को पूर्णतया घेरे हुए है, अत: दोनों की त्रिज्या बराबर होगी।]

अत: बेलन की ऊँचाई = गोले का व्यास = 2r

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r²

अत: दिये गये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r² उत्तर

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 ℿ r h

अत: दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जो कि दिये गये गोले को पूर्णतया घेरे हुए है

= 2 × ℿ r × 2 r

[चूँकि गोले और बेलन दोनों की त्रिज्या = r है। और बेलन की ऊँचाई = गोले का व्यास = 2r है]

= 2 ℿ 2× r²

= 4 ℿ r²

अत: दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r² उत्तर

(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

यहाँ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r²

[जैसा कि इस प्रश्न के खंड (i) में गणना की गयी है।]

और दिये गये बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 ℼ r²

[जैसा कि इस प्रश्न के खंड (ii) में गणना की गयी है।]

अत: गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात

= 4 ℼ r² : 4 ℼ r²

`=(4\ pi\ r^2)/(4\ pi\ r^2)`

= 1 : 1

अत: ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

= 1 : 1 उत्तर