पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: क्लास नौवीं गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.5  प्रश्न संख्या (5) एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, घनाभाकार टंकी की धारिता = 50000 लीटर

= 50000/1000

(चूँकि 1 m³= 1000 लीटर)

⇒ अत: टंकी की धारिता घन मीटर में = 50 m³ = टंकी का आयतन

तथा घनाभाकार टंकी की लम्बाई (`l`) = 2.5 m

तथा घनाभाकार टंकी की गहराई (ऊँचाई) (h) = 10 m

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी की चौड़ाई(b) = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन `=lxxbxxh`

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी का आयतन (धारिता) = 2.5 m × b × 10 m

⇒ 50 m³ = 25 m² × b

`=> b =(50 m^3)/(25m^2)`

⇒ चौड़ाई (b) = 2 m

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी की चौड़ाई = 2 m उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.5  प्रश्न संख्या (6) एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?

हल

दिया गया है, गाँव की आबादी = 4000

प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर

तथा पानी टंकी की लम्बाई (`l`) = 20 m

और पानी टंकी की चौड़ाई (b) = 15 m

और पानी टंकी की ऊँचाई (h) = 6 m

अत: टंकी का पानी दिये गये गाँव के लिए कितने दिनों के लिए पर्याप्त होगा?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन `=lxxbxxh`

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी में आ सकने वाले पानी का आयतन =

= 6 m × 15 m × 20 m

= 90 m² × 20 m

= 1800 m³

अत: दिये गये घनाभाकार टंकी में आ सकने वाले पानी का आयतन = 1800 m³

दिये गये टंकी के पानी का गाँव के सभी लोगों के उपयोग के लिए दिनों की संख्या की गणना

हम जानते हैं कि, 1 m³ = 1000 लीटर

अत: 1800 m³ = 1800000 लीटर

अब प्रश्न के अनुसा प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर और गाँव की आबादी = 4000

अत: गाँव के सभी लोगों के लिए 1 दिन में पानी की खपत = 4000 × 150 लीटर

अत: पानी का पूरे गाँव के लोगों के लिए एक दिन का खपत = 600000 लीटर

अब टंकी में पानी का आयतन = 1800000 लीटर

अब चूँकि 600000 लीटर पानी के खपत के दिनों की संख्या = 1 दिन

अत: 1 लीटर पानी के खपत के दिनों की संख्या = `1/600000` दिन

अत: टंकी के कुल पानी 1800000 लीटर के खपत के दिनों की संख्या = `1/600000xx1800000` दिन

= 3 दिन

अत: दिये गये टंकी के पानाई कुल 3 दिनों के लिए पर्याप्त होगा। उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.5  प्रश्न संख्या (7) किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 15 m है। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (Crates) रखे जा सकते हैं?

हल

दिया गया है, गोदाम की लम्बाई (`l`) = 40 m,

गोदाम की चौड़ाई (b) = 25 m,

गोदाम की ऊँचाई (h) = 15 m,

तथा लकड़ी के क्रेट की लम्बाई (`l_c`) = 1.5 m,

लकड़ी के क्रेट की चौड़ाई (b_c) = 1.25 m,

तथा लकड़ी के क्रेट की ऊँचाई (h_c) = 0.5 m

अत: दिये गये लकड़ी के क्रेट को गोदाम में रखे जा सकने की अधिकतम संख्या = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन `=lxxbxxh`

अत: दिये गये घनाभाकार गोदाम का आयतन

= 40 m × 25 m × 15 m

= 1000 m² × 15 m

= 15000 m³

अत: दिये गये घनाभाकार गोदाम का आयतन = 15000 m³

तथा दिये गये घनाभाकार क्रेट का आयतन

= 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m

= 1.875 m² × 0.5 m

= 0.9375 m³

अत: दिये गये घनाभाकार क्रेट का आयतन = 0.9375 m³

अब दिये गये गोदाम में रखे जा सकने वाले दिये गये क्रेट की अधिकतम संख्या

= गोदाम का आयतन/क्रेट का आयतन

`=(15000 m^3)/(0.9375m^3)`

= 16000 क्रेट

अत: दिये गये गोदाम में दिये गये क्रेट को रखे जा सकने की अधिकतम संख्या = 16000 उत्तर

दूसरी विधि [लघु विधि (शॉर्टकट विधि)]

दिये गये गोदाम में दिये गये क्रेट को रखे जा सकने की अधिकतम संख्या

= गोदाम का आयतन/क्रेट का आयतन

= गोदाम की माप/क्रेट की माप

`=(40mxx25mxx15m)/(1.5mxx1.25mxx0.5m)`

= 16000 क्रेट

दिये गये गोदाम में दिये गये क्रेट को रखे जा सकने की अधिकतम संख्या = 16000 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.5  प्रश्न संख्या (8) 12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, बड़े वाले ठोस घन की भुजा = 12 cm

तथा इस ठोस घन को काटे जाने वाले बराबर आयतन वाले नये घनों की संख्या = 8

अत: नये घन की भुजा की माप = ?

तथा पुराने और नये घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = ?

हम जानते हैं कि, घन का आयतन = (side)³

अत: दिये गये ठोस घन का आयतन = (12 cm)³

= 1728 cm³

अब दिये गये ठोस घन को नये घनों में काटे जाने की संख्या = 8

अत: नये घन का आयतन = 1728/8

= 216 cm³

अत: एक नये घन का आयतन = 216 cm³

मान लिया कि नये घन की भुजा = s

अत: नये घन का आयतन = (s)³

⇒ 216 cm³ = s³

`=>s = root3 (216 cm^3)`

⇒ s = 6 cm

अत: नये घन की भुजा = 6 cm

दिये गये दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (side)²

अत: दिये गये ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल= 6 × (12 cm)²

= 6 × 12 cm × 12 cm

तथा काटे गये नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (6 cm)²

अत: नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 6 cm × 6 cm

दिये गये ठोस घन और काटे गये नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

`=(6xx12cmxx12cm)/(6xx6cmxx6cm)`

`= (2xx2)/1`

= 4 : 1

दिये गये ठोस घन और काटे गये नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 4:1

अत: नये घन की भुजा = 6 cm और दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 4:1 उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्लास 9 गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली13.5  प्रश्न संख्या (9) 3 m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?

हल

दिया गया है, नदी की गहराई (h) = 3 m,

नदी की चौड़ाई (b) = 40 m

तथा नदी के समुद्र में गिरने की चाल = 2 km प्रति घंटा

इसका अर्थ है, कि नदी का समुद्र में गिरने वाली प्रति घंटा लम्बाई = अर्थात नदी की लम्बाई = 2 km

= 2 × 1000 = 2000 m

⇒ अर्थात नदी में पानी के सतह की लम्बाई जो एक घंटा में समुद्र में गिरती है = 2000 m

अत: नदी का 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन = ?

अब चूँकि 1 घंटा (60 मिनट) में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी की सतह की लम्बाई = 2000 m

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी की सतह की लम्बाई = 2000 m/60

= 100/3 m

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी की सतह की लम्बाई = 100/3 मीटर

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन `=lxxbxxh`

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी का आयतन `=100/3mxx40 mxx3m`

= 100 m × 40 m × 1 m

= 4000 m³

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी की मात्रा (आयतन) = 4000 m³ उत्तर

दूसरी विधि

दिया गया है, नदी की गहराई (h) = 3 m,

नदी की चौड़ाई (b) = 40 m

तथा नदी के समुद्र में गिरने की चाल = 2 km प्रति घंटा

इसका अर्थ है, कि नदी का समुद्र में गिरने वाली प्रति घंटा लम्बाई = अर्थात नदी की लम्बाई = 2 km

= 2 × 1000 = 2000 m

⇒ अर्थात नदी में पानी के सतह की लम्बाई जो एक घंटा में समुद्र में गिरती है = 2000 m

अत: नदी का 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन = ?

हम जानते हैं कि, घनाभ का आयतन `=lxxbxxh`

अत: 1 घंटे में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी का आयतन

= 2000 m × 40 m × 3 m

= 80000 m² × 3 m

= 240000 m³

अत: 60 मिनट (1 घंटे) में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी का आयतन = 240000 m³

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी का आयतन `=(240000m^3)/60`

= 4000 m³

अत: 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले नदी के पानी की मात्रा (आयतन) = 4000 m³ उत्तर