रेखाएँ और कोण: क्लास नौवीं गणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (1) आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70^o है और ∠BOD = 40^o है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (1) का हल

दिया गया है, ∠BOD = 40^o

तथा ∠AOC + ∠BOE = 70^o

अत: ∠BOE = ?

तथा, ∠COE = ?

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, ∠AOC + ∠BOE = 70^o

⇒ ∠BOD + ∠BOE = 70^o

[चूँकि ∠BOD तथा ∠AOC शीर्षाभिमुख कोण हैं अत: आपस में बराबर हैं]

⇒ 40^o + ∠BOE = 70^o

⇒ ∠BOE = 70^o – 40^o

⇒ ∠BOE = 30^o - - - - (i)

अब ∠EOD + ∠COE = 180^o

[चूँकि ∠EOD तथा ∠COE कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं अत: संपूरक हैं।]

⇒ ∠BOE + ∠BOD + ∠COE = 180^o

⇒ 30^o + 40^o + ∠COE = 180^o

[चूँकि समीकरण (i) के अनुसार ∠BOE = 30^o तथा प्रश्न के अनुसार ∠BOD = 40^o है।]

⇒ 70 + ∠COE = 180^o

⇒ ∠COE = 180^o – 70^o

⇒ ∠COE = 110^o

अत: ∠BOE = 30^o तथा ∠COE = 110^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (2) आकृति में, रेखाएँ XY तथा MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90^o और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (2) का हल

दिया गया है, ∠POY = 90^o

तथा a : b = 2 : 3

अत: c = ?

∠POY + ∠XOP = 180^o

[चूँकि ∠POY तथा ∠XOP कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं।]

⇒ 90^o +∠XOP = 180^o

⇒ ∠XOP = 180^o – 90^o

⇒ ∠XOP = 90^o

अब, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, a : b = 2 : 3

मान लिया कि a = 2x तथा b = 3x

अब, a + b = ∠XOP

⇒ a + b = 90^o

⇒ 2x + 3x = 90^o

⇒ 5x = 90^o

`:. x = 90^o/5 `

⇒ x = 18^o

अब, चूँकि a = 2x

अत: x = 18^o रखने पर हम पाते हैं कि

a = 2 × 18^o

⇒ a = 36^o

तथा, b = 3x

अत: x = 18^o रखने पर हम पाते हैं कि

b = 3 × 18^o

⇒ b = 54^o - - - - - (i)

अब, ∠XOM + ∠XON = 180^o

[चूँकि ∠XOM तथा ∠XON कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं।]

⇒ b + c = 180^o

[चूँकि कोण XOM = b तथा कोण XON = c]

⇒ 54^o + c = 180^o

[चूँकि कोण b = 54^o समीकरण (i) के अनुसार]

⇒ c = 180^o – 54^o

⇒ c = 126^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (3) आकृति में यदि∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (3) का हल

दिया गया है, ∠PQR = ∠PRQ

अत: सिद्ध करना है कि ∠PQS = ∠PRT.

प्रमाण

∠PQR + ∠PQS = 180^o - - - - - (i)

[चूँकि ∠PQR तथा ∠PQS कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं।]

तथा, ∠PRQ + ∠PRT = 180^o - - - - - (ii)

[चूँकि ∠PRQ तथा ∠PRT कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं।]

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) से

∠PQR + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT

अब, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है ∠PQR = ∠PRQ अत: उपरोक्त ब्यंजक में ∠PQR के स्थान पर ∠PRQ रखने पर हम पाते हैं कि

∠PRQ + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT

⇒ ∠PRQ + ∠PQS – ∠PRQ = ∠PRT

⇒ ∠PQS = ∠PRT प्रमाणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (4) आकृति में, यदि x + y = w + z, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (4) का हल

दिया गया है, x + y = w + z

तो सिद्ध करना है कि: AOB एक रेखा है।

प्रमाण :

∠x + ∠y + ∠w + ∠z = 360^o

[चूँकि किसी बिन्दु के चारों ओर के कोणों का योग = 360^o होता है।]

⇒ (∠x + ∠y) + (∠w + ∠z) = 360^o

⇒ (∠x + ∠y) + (∠x + ∠y) = 360^o

[चूँकि जैसा कि प्रश्न में दिया गया है x + y = w + z]

⇒ 2(∠x + ∠y) = 360^o

`:. => /_x + /_y = 360^o/2`

⇒ ∠x + ∠y = 180^o

⇒ ∠w + ∠z = 180^o

[चूँकि जैसा कि प्रश्न में दिया गया है x + y = w + z]

अत: रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार जो कहता है कि यदि दो संगत कोणों का योग 180^o हो तो कोणों की भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं हैं एक सरल रेखा होती है।

अत: AOB एक रेखा है चूँकि ∠x + ∠y = 180^o तथा ∠w + ∠z = 180^o. प्रमाणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (5) आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP तथा OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। तो सिद्ध कीजिए कि

∠ROS = 1/2 (∠QOS – ∠POS

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (5) का हल

दिया गया है, किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। तथा OS एक अन्य रेखा है जो किरणों OP तथा OR के बीच में है।

अत: सिद्ध करना है कि ∠ROS = 1/2 (∠QOS – ∠POS

प्रमाण

चूँक़ि किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है

अत: ∠POR = 90^o

⇒ ∠POS + ∠SOR = 90^o - - - - - (i)

[चूँकि ∠POR = ∠POS + ∠SOR]

तथा, ∠POS + ∠QOS = 180^o

[चूँकि ∠POS तथा ∠QOS कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं]

⇒ ∠POS + ∠QOS = 2(∠POS + ∠SOR)

[चूँकि समीकरण (i) से ∠POS + ∠SOR = 90^o, अत: 2(∠POS + ∠SOR) = 180^o]

⇒ ∠POS + ∠QOS = 2 ∠POS + 2 ∠SOR

∠POS को दायाँ पक्ष में ले जाने पर

⇒ ∠QOS = 2 ∠POS + 2 ∠SOR – ∠POS

⇒ ∠QOS = 2 ∠POS – ∠POS + 2 ∠SOR

⇒ ∠QOS = ∠POS + 2 ∠SOR

⇒ ∠QOS – ∠POS = 2 ∠SOR

⇒ 2 ∠SOR = ∠QOS – ∠POS

⇒ ∠SOR = 1/2(∠QOS – ∠POS) प्रमाणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (6) यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64^o है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुयी सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1 प्रश्न संख्या (6) का हल

दिया गया है, ∠XYZ = 64^o

तथा, XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है।

तथा, किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।

अत: दी हुयी सूचना से निम्नांकित आकृति खींची जा सकती है।

अत: ∠XYQ तथा प्रतिवर्ती ∠QYP = ?

अब, चूँकि PX एक सरल रेखा है।

अत: ∠ZYP + ∠XYZ = 180^o

⇒ ∠ZYP + 64^o = 180^o

⇒ ∠ZYP = 180^o – 64^o

⇒ ∠ZYP = 116^o

अब, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है QY, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।

अत: ∠ZYQ = 1/2 ∠ZYP

⇒ ∠ZYQ = 1/2 × 116^o

⇒ ∠ZYQ = 58^o

अब, ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ

⇒ ∠XYQ = 64^o + 58^o

⇒ ∠XYQ = 122^o

अब, प्रतिवर्ती ∠QYP = ∠XYQ + ∠XYP

⇒ ∠QYP = 122^o + 180^o

[चूँकि ∠XYP एक सरल रेखा है जिसके कोण की माप 180^o होती है।]

⇒ ∠QYP = 302^o

अत: ∠XYQ = 122^o तथा प्रतिवर्ती कोण ∠QYP = 302^o उत्तर