रेखाएँ और कोण: क्लास नौवीं गणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (1) आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB||CD है।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (1) का हल

दिया गया है,

∠ANM = 50^o

तथा, ∠CYP = 130^o

अत: ∠x तथा ∠y = ?

तथा सिद्ध करना है कि AB || CD है।

चूँकि ∠ANM तथा ∠x कोणों के रैखिक युग्म हैं अत: उनका योग 180^o होगा।

i.e. ∠ANM + ∠x = 180^o

⇒ 50^o + ∠x = 180^o

⇒ ∠x = 180^o – 50^o

⇒ ∠x = 130^o

अब, चूँकि ∠COP तथा ∠NOD शीर्षाभिमुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

i.e. ∠NOD = ∠COP

⇒ ∠y = 130^o

अब, यहाँ ∠x = ∠y = 130^o

i.e. एकांतर अंत: कोणों के युग्म x तथा y आपस में बराबर हैं।

अत: संगत कोणों के प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस तरह काटे कि एकांतर अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर हों तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

अत: AB || CD प्रमाणित

तथा, ∠x = ∠y = 130^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (2) आकृति में, यदि AB||CD, CD||EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (2) का हल

दिया गया है, AB || CD तथा CD||EF

तथा, y : z = 3 : 7

अत: x = ?

यहाँ, x तथा z एकांतर अंत: कोण हैं अत: आपस में बराबर हैं।

i.e. x = z - - - - - (i)

अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है y : z = 3 : 7

अत: मान लिया y = 3m तथा z = 7m

अब, समांतर रेखाओं परा आधारित प्रमेय के अनुसार यदि कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है तो तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।

यहाँ, x तथा y तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों का युग्म है, अत: संपूरक हैं।

अत: ∠x + ∠y = 180^o

⇒ ∠z + ∠y = 180^o

[चूँकि ∠x तथा ∠z एकांतर अंत: कोण हैं अत: आपस में बराबर हैं। समीकरण (i) से]

⇒ 7m + 3m = 180^o

⇒ 10m = 180^o

`=> m = 180^o/10`

⇒ m = 18^o

अब, z = 7m

इसमें m = 18^o मान रखने पर

z = 7 × 18^o

⇒ y = 126^o = x

अत: x = 126^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (3) आकृति में, यदि AB||CD, EF `_|_` CD और ∠GED = 126^o है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (3) का हल

दिया गया है, AB||CD, EF `_|_` CD

तथा ∠GED = 126^o

अत: ∠AGE, ∠GEF तथा ∠FGE = ?

यहाँ ∠GED तथा ∠AGE एकांतर अंत: कोण हैं अत: आपस में बराबर हैं।

i.e. ∠AGE = ∠GED

⇒ ∠AGE = 126^o

अब, ∠AGE तथा ∠FGE are कोणों के रैखिक युग्म हैं अत: = 180^o है।

i.e. ∠AGE + ∠FGE = 180^o

⇒ 126^o + ∠FGE = 180^o

⇒ ∠FGE = 180^o – 126^o

⇒ ∠FGE = 54^o

अब, ∠GEF + ∠FED = 126^o

⇒ ∠GEF + 90^o = 126^o

[चूँकि EF `_|_` CD तथा जैसा कि प्रश्न में दिया गया है ∠GED = 126^o ]

⇒ ∠GEF = 126^o – 90^o

⇒ ∠GEF = 36^o

अत: ∠AGE = 126^o, ∠GEF = 36^o तथा ∠FGE = 54^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (4) आकृति में, यदि PQ||ST, ∠PQR = 110^o और ∠RST = 130^o है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

[संकेत: बिन्दु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।]

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (4) का हल

दिया गया है, PQ||ST

तथा, ∠PQR = 110^o

तथा, ∠RST = 130^o

अत: ∠QRS = ?

बिन्दु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींची गयी।

चूँकि, AB||ST

अत: ∠PQR तथा ∠QRB एकांतर अंत: कोण हैं तदनुसार आपस में बराबर हैं।

i.e. ∠PQR = ∠QRB = 110^o

उसी प्रकार, ∠RST तथा ∠SRA एकांतर अंत: कोण है, अत: आपस में बराबर हैं।

i.e. ∠RST = ∠SRA = 130^o

मान लिया कि ∠QRA = a, ∠QRS = b तथा ∠SRB = c

अब, a + b + c = 180^o - - - - - - (i)

[चूँकि ये कोण मिलकर एक सरल रेखा बनाती हैं।]

तथा, ∠SRA + ∠QRB = 130^o + 110^o

⇒ (a + b) + (b + c) = 240^o

⇒ a + b + b + c = 240^o

⇒ a + 2b + c = 240^o - - - - - (ii)

अब, समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर हम पाते हैं कि

अत: b = ∠ QRS =60^o

अत: ∠QRS = 60^o उत्तर

Alternate Method

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (4) का हल

दिया गया है, PQ||ST

तथा, ∠PQR = 110^o

तथा, ∠RST = 130^o

अत: ∠QRS = ?

बिन्दु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींची गयी।

समांतर रेखाओं से संबंधित एक प्रमेय के अनुसार यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है। .

यहाँ, ∠RST तथा कोण c तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंत: कोण का युग्म है, अत: संपूरक है।

i.e. ∠RST + ∠c = 180^o

⇒ 130^o + ∠c = 180^o

⇒ ∠c = 180^o – 130^o

⇒ ∠c = 50^o - - - - - (i)

तथा कोण PQR तथा कोण QRB एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं अत: बराबर हैं।

चूँकि समांतर रेखाओं से संबंधित प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि यदि कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है तो एकांतर अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

i.e. ∠PQR = ∠QRB = 110^o

अब, ∠QRS = ∠QRB – ∠c

⇒ ∠QRS = 110^o – 50^o

[ समीकरण (i) से ∠c = 50^o]

⇒ ∠QRS = 60^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (5) आकृति में, यदि AB||CD, ∠APQ = 50^o और ∠PRD = 127^o है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (5) का हल

दिया गया है, AB||CD

तथा, ∠APQ = 50^o

तथा ∠PRD = 127^o

अत: , x तथा y = ?

समांतर रेखाओं से संबंधित प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि यदि कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है तो एकांतर अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠PQR तथा ∠APQ एकांतर अंत: कोणों का युग्म है, अत: बराबर है।

i.e. ∠PQR = ∠APQ = 50^o

⇒ x = 50^o

जब QR तिर्यक रेखा है।

∠APR तथा ∠PRD एकांतर कोणों का युग्म है, अत: आपस में बराबर है।

i.e. ∠APR = ∠PRD = 127^o

अब, ∠y = ∠APR – ∠APQ

= 127^o – 50^o

⇒ y = 77^o

अत: x = 50^o तथा y = 77^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (6) आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गये हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुन: CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB||CD है।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2 प्रश्न संख्या (6) का हल

दिया गया है, PQ तथा RS दो दिये गये दर्पण हैं तथा एक दूसरे से समांतर रखे गये हैं।

इसमें AB आपतित किरण है तथा BC परावर्तित किरण है।

तथा जब BC आपतित किरण है तो CD परावर्तित किरण होगी।

अत: सिद्ध करना है कि AB||CD.

हम जानते हैं कि समतल दर्पण में आपतन कोण = परावर्तित (परावर्तन कोण) कोण

यहाँ, `/_ABP =i` आपतन कोण है

तथा, `/_CBQ =r` परावर्तन कोण है

अत: `/_ABP = i=/_CBQ=r`

तथा जब किरण BC दर्पण RS पर टकराती है अर्थात गिरती है तो

`/_RCB = i` आपतन कोण है

तथा, `/_DCS = r` परावर्तन कोण होगी।

अत: `/_RCB=i=/_DCS=r`

अब, ∠ABP, ∠ABC तथा ∠CBQ कोणों का रैखिक युग्म बनाते हैं।

अत: ∠ABP + ∠ABC + ∠CBQ = 180^o

⇒ ∠ABC = 180^o – (∠ABP + ∠CBQ) - - - - - (i)

उसी प्रकार, ∠RCB + ∠BCD + ∠DCS = 180^o

[चूँकि ये तीनों मिलकर सरल रेखा बनाते हैं।]

⇒ ∠ABC + ∠BCD + ∠CBQ = 180^o

[चूँकि = ∠RCB = ∠ABC तथा ∠DCS = ∠CBQ]

⇒ ∠BCD = 180^o Ó (∠ABC + ∠CBQ) - - - - - (ii)

अत: समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

∠ABC = ∠BCD

अब, समांतर रेखाओं से संबंधित एक प्रमेय के अनुसार जो कहता है कि यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि एकांतर अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

यहाँ AB तथा CD दो रेखाएँ हैं तथा BC एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें काटती है।

अब, चूँकि ∠ABC तथा ∠BCD एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं तथा बराबर हैं,

अत: AB||CD प्रमाणित