रेखाएँ और कोण: क्लास नौवीं गणित

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (1) आकृति में, △PQR की भुजाओं OP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135^o और ∠PQT = 110^o है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (1) का हल

दिया गया है, PQR एक त्रिभुज है।

जिसमें ∠PQT = 110^o

और, ∠PRQ = 135^o

अत: ∠PRQ = ?

∠PQT और ∠PQR कोणों के रैखिक युग्म हैं अत: साथ मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं।

अत: ∠PQT + ∠PQR = 180^o

⇒ 110^o + ∠PQR = 180^o

⇒ ∠PQR = 180^o – 110^o

⇒ ∠PQR = 70^o - - - - - (i)

उसी प्रकार, ∠SPR और ∠QPR कोणों के रैखिक युग्म हैं और एक सरल रेखा बनाते हैं।

अत: ∠SPR + ∠QPR = 180^o

⇒ 135^o + ∠QPR = 180^o

⇒ ∠QPR = 180^o – 135^o

⇒ ∠QPR = 45^o - - - - - - (ii)

अब, त्रिभुज के कोण योग गुण के प्रमेय से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज से सभी कोणों का योग 180^o होता है।

अत: △PQR में,

∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180^o

⇒ 70^o + 45^o + ∠PRQ = 180^o

⇒ 115^o + ∠PRQ = 180^o

⇒ ∠PRQ = 180^o – 115^o

⇒ ∠PRQ = 65^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (2) आकृति में, ∠X = 62^o और ∠XYZ = 54^o है। यदि YO और ZO क्रमश: △XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (2) का हल

दिया गया है, ∠X = 62^o

और, ∠XYZ = 54^o

YO और ZO, ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं।

अत: ∠OZY और ∠YOZ = ?

अब, त्रिभुज के कोण योग गुण के प्रमेय से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज से सभी कोणों का योग 180^o होता है।

अत: △XYZ में,

∠X + ∠Y + ∠Z = 180^o

⇒ 62^o + 54^o + ∠Z = 180^o

⇒ 116^o + ∠Z = 180^o

⇒ ∠Z = 180^o – 116^o

⇒ ∠Z = ∠XZY = 64^o - - - - - - (i)

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है OY, ∠XYZ का समद्विभाजक है।

अत: ∠OYZ = 1/2 ∠XYZ

⇒ ∠OYZ = 1/2 × 54^o

⇒ ∠OYZ = 27^o - - - - - - (i)

और प्रश्न के अनुसार OZ, ∠XZY का समद्विभाजक है।

अत: ∠OZY = 1/2 ∠XZY

⇒ ∠OZY = 1/2 × 64^o

[ समीकरण (i) से ∠XZY = 64^o]

⇒ ∠OZY = 32^o - - - - - (iii)

अब, △ OYZ में,

∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180^o

⇒ 27^o + 32^o + ∠YOZ = 180^o

⇒ 59^o + ∠YOZ = 180^o

⇒ ∠YOZ = 180^o – 59^o

⇒ ∠YOZ = 121^o

अत: ∠OZY = 32^o और ∠YOZ = 121^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (3) आकृति में, यदि AB||DE, ∠BAC = 35^o और ∠CDE = 53^o है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (3) का हल

दिया गया है, AB||DE

और, ∠BAC = 35^o

और ∠CDE = 53^o

अत: ∠DCE = ?

अब, चूँकि AB||DE

और ∠CAB और ∠DEC एकांतर अंत: कोणों का युग्म है, अत: बराबर हैं।

i.e. ∠CAB = ∠DEC = 35^o

i.e. ∠DEC = 35^o

अब, in △

अब, त्रिभुज के कोण योग गुण के प्रमेय से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज से सभी कोणों का योग 180^o होता है।

∠CDE + ∠DEC + ∠DCE = 180^o

⇒ 53^o + 35^o + ∠DCE = 180^o

⇒ 88^o + ∠DCE = 180^o

⇒ ∠DCE = 180^{o – 88o}

⇒ ∠DCE = 92^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (4) आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40^o, ∠RPT = 95^o और ∠TSQ = 75^o है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (4) का हल

दिया गया है, ∠PRT = 40^o

और, ∠RPT = 95^o

और ∠TSQ = 75^o

अत: ∠SQT =?

अब, त्रिभुज के कोण योग गुण के प्रमेय से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज से सभी कोणों का योग 180^o होता है।

त्रिभुज PRT में,

∠RPT + ∠PRT + ∠RTP = 180^o

⇒ 95^o + 40^o + ∠RTP = 180^o

⇒ 135^o + ∠RTP = 180^o

⇒ ∠RTP = 180^o – 135^o

⇒ ∠RTP = 45^o - - - - - - (i)

अब त्रिभुज PRT और त्रिभुज TQS में,

∠RTP और ∠STP शीर्षाभिमुख कोण हैं तथा आपस में बराबर हैं।

अत: ∠RTP = ∠STP = 45^o

⇒ ∠STP = 45^o - - - - - - (ii)

अब, त्रिभुज TQS में,

∠SQT + ∠STQ + ∠TSQ = 180^o

[चूँकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180^o होता है।]

⇒ ∠SQT + 45^o + 75^o = 180^o

⇒ ∠SQT + 120^o = 180^o

⇒ ∠SQT = 180^o – 120^o

⇒ ∠SQT = 60^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (5) आकृति में, यदि PQ `_|_` PS, PQ || SR, ∠SQR = 28^o और ∠QRT = 65^o है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (5) का हल

दिया गया है, PQ `_|_` PS और PQ || SR

और, ∠SQR = 28^o

और ∠QRT = 65^o

अत: x और y के मान = ?

चूँकि PQ || SR और तिर्यक रेखा QR इन्हें काटती हैं।

अत: ∠QRT और ∠RQP एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं तथा आपस में बराबर हैं।

i.e. ∠RQP = ∠QRT

⇒ ∠RQP = 65^o - - - - - - (i)

अब, कोण RQP, कोण SQR और कोण SQP में,

∠SQP = ∠RQP – ∠SQR

⇒ SQP = x = 65^o – 28^o

[चूँकि समीकरण (i) से ∠RQP = 65^o और प्रश्न के अनुसार ∠SQR = 28^o]

⇒ SQP = x = 37^o - - - - (ii)

अब, त्रिभुज SQP में,

∠QPS = 90^o [चूँकि PQ लम्ब है PS पर]

अब, त्रिभुज के कोण योग गुण के प्रमेय से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज से सभी कोणों का योग 180^o होता है।

अत: ∠y + ∠x + ∠QPS = 180^o

⇒ ∠y + 37^o + 90^o = 180^o

[चूँकि समीकरण (ii) से x = 37^o]

⇒ ∠y + 127^o = 180^o

⇒ ∠y = 180^o – 127^o

⇒ ∠y = 53^o

अत: x = 37^o और y = 53^o उत्तर

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (6) आकृति में, △PQR की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = 1/2 ∠QPR.

रेखाएँ और कोण क्लास नौवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 प्रश्न संख्या (6) का हल

दिया गया है, QT, ∠PQR का समद्विभाजक है

और, RT कोण PRS का समद्विभाजक है।

अत: सिद्ध करें कि ∠QTR = 1/2 ∠QPR

अब त्रिभुज के कोणों के योग गुण संबंधी प्रमेय से हम जानते हैं कि यदि त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाये, तो इस प्रकार बना बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख (विपरीत) कोणों (interior opposite angles) के योग के बराबर होता है।

अब, त्रिभुज PQR में,

बाह्य कोण PRS = अत: कोण QPR और कोण PQR का योग

⇒ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR

दोनों ओर 1/2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

- - - - - - - - - - (i)

अब, त्रिभुज QTR में

बाह्य कोण TRS = कोण QTR + कोण TQR

⇒ ∠TRS = ∠QTR + ∠TQR

⇒ `1/2/_` PRS = ∠QTR + `1/2/_` PQR

[चूँकि ∠TRS = `1/2/_`PRS और ∠TQR = `1/2/_`PQR]

`1/2/_`PQR को दायीं ओर ले जाने पर हम पाते हैं कि

⇒ `1/2/_`PRS – `1/2/_` PQR = ∠QTR

⇒ ∠QTR = `1/2/_`PRS – `1/2/_`PQR - - - - - - - - (ii)

अब, समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं कि

∠QTR = `1/2/_` ∠QPR प्रमाणित