संख्या पद्धति (नवम गणित): क्लास नौवीं गणित

प्रश्न संख्या (6) `p/q\ (q!=0)` के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए ?

हल

संख्या जिसके हर का गुणनखंड 2 या 5 या दोनों हो का दशमलव प्रसार सांत होता है। अत: q का ग़ुणनखंड 2 या 5 या दोनों होना आवश्यक है।

उदाहरण :

`1/2 = 0.5` सांत दशमलव प्रसार

`1/3=0.bar(3)` असांत आवर्ती दशमलव प्रसार

`1/4 = 0.25` सांत दशमलव प्रसार

`1/5 = 0.2` सांत दशमलव प्रसार

`1/6=0.bar(16)` असांत दशमलव प्रसार

`1/7=0.bar(142857)` असांत दशमलव प्रसार

`1/8=0.125` सांत दशमलव प्रसार

`1/9=0.bar(1)` असांत दशमलव प्रसार

प्रश्न संख्या (7) ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।

हल

अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होते हैं।

`sqrt2, sqrt3`, तथा `sqrt5` तीन ऐसी संख्या के उदाहरण हैं, जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हैं, चूँकि ये सभी अपरिमेय संख्या हैं।

प्रश्न संख्या (8) परिमेय संख्याओं `5/7` और `9/11` के बीचे तीन अलग अलग अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल

`5/7` = 0.7142857142857 . . . तथा

`9/11` = 8181818 . . . .

अत: `5/7` और `9/11` के बीच पड़ने वाली संभावित तीन अपरिमेय संख्याएँ हैं

0.740740074000 . . . .

0.750750075000750000 . . तथा

0.760760076000 . . . .

प्रश्न संख्या (9) बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन कौन संख्याएँ परिमेय और कौन कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं:

(i) `sqrt(23)`

हल

`sqrt(23)` = 4.79583152. . . . .

चूँकि `sqrt(23)` का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है अत: यह एक अपरिमेय संख्या है।

अत: उत्तर = अपरिमेय

(ii) `sqrt(225)`

हल

`sqrt(225)=15`

चूँकि `sqrt(225)` का दशमलव प्रसार सांत है, अत: `sqrt(225)` यह एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796

उत्तर

`0.3796 =3796/10000`

चूँकि 0.3796 को `p/q` के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ `q!=0` तथा p और q पूर्णांक हैं, अत: 0.3796 एक परिमेय संख्या है।

अत: उत्तर = परिमेय

(iv) 7.478478 . . . .

हल

दिया गया है, 7.478478 . . . .

चूँकि दिये गये संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है, अत: यह एक परिमेय संख्या है।

अत: उत्तर = परिमेय

(v) 1.101001000100001 . . . .

हल

दिया गया है, 1.101001000100001 . . . .

चूँकि दिये गये संख्या 1.101001000100001 . . . . का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है, अत: 1.101001000100001 . . . . एक अपरिमेय संख्या है।

अत: उत्तर = अपरिमेय

एनसीईआरटी प्रश्नावली 1.4 का हल (नवम गणित)

प्रश्न संख्या (1) उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिए।

उत्तर

(a) सबसे पहले संख्या रेखा पर 3 और 4 के बीच के स्थान को 10 बराबर भागों में बांटिए।

(b) अब 3 और 4 वाले स्थान को आवर्धित कर 3.7 और 3.8 के बीच के भाग को दस बराबर भागों में बाँटिये।

(c) आवर्धित कर 3.76 और 3.77 के बीच के स्थान को 10 बराबर भागों में बाँटिए।

(d) लिए गये स्थान को आवर्धित कर 3.76 और 3.77 के स्थान में से 3.765 को संख्या रेखा पर चिन्हित कीजिए।

प्रश्न संख्या (2) 4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर `4.bar(26)` को देखिए।

हल

(a) संख्या रेखा पर 4 और 5 के बीच के स्थान को 10 बराबर भागों में बांटिए।

(b) 4.2 और 4.3 के बीच के स्थान को आवर्धित कर 10 बराबर भागों में बाँटिए।

(c) 4.26 और 4.27 के बीच के स्थान को लेकर आवर्धित कर 10 बराबर भागों में बाँटिए।

(d) 4.262 और 4.263 के बीच के स्थान को आवर्धित कर उसे 10 बराबर भागों में बाँटिए।

(e) 4.262 और 4.263 के बीच के स्थान से 4.2626 को संख्या रेखा पर चिन्हित कीजिए।