संख्या पद्धति (नवम गणित): क्लास नौवीं गणित

प्रश्न संख्या (1) बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन कौन परिमेय हैं और कौन कौन अपरिमेय हैं:

(i) `2-sqrt5`

उत्तर : अपरिमेय

ब्याख्या: चूँकि दिये गए संख्या का एक भाग `sqrt5`, अपरिमेय है, अत: दिया गया संख्या अपरिमेय है।

(ii) `(3+sqrt(23))-sqrt(23)`

हल

दिया गया है, `(3+sqrt(23))-sqrt(23)`

`=3+\cancel(sqrt(23))- \cancel(sqrt(23))`

=3

अत: दिया गया संख्या परिमेय है। उत्तर

(iii) `(2sqrt7)/(2sqrt7)`

हल

दिया गया है, `(2sqrt7)/(2sqrt7)`

= 0

अत: दिया गया संख्या परिमेय है। उत्तर

(iv) `1/sqrt2`

हल

दिया गया है, `1/sqrt2`

चूँकि `sqrt2` अपरिमेय है, अत: दिया गया संख्या अपरिमेय है।

Answer = अपरिमेय

(v) `2pi`

हल

दिया गया है, `2pi`

चूँकि `pi` एक अपरिमेय संख्या है,

अत: दी गई संख्या अपरिमेय है। उत्तर

प्रश्न संख्या (2) निम्नलिखित ब्यंजकों में से प्रत्येक को सरल कीजिए

(i) `(3+sqrt3)(2+sqrt2)`

हल

दिया गया है, `(3+sqrt3)(2+sqrt2)`

`=3xx2+3sqrt2+2sqrt3+sqrt3xxsqrt2`

`=6+3sqrt2+2sqrt3+sqrt6` Answer

(ii) `(3+sqrt3)(3-sqrt3)`

हल

दिया गया है, `(3+sqrt3)(3-sqrt3)`

`=3^2-(sqrt3)^2`

[∵ (a+b)(a–b)=a²] – b²]

=9 – 3

= 6 उत्तर

(iii) `(sqrt5+sqrt2)^2`

हल

दिया गया है, `(sqrt5+sqrt2)^2`

`=(sqrt5)^2+(sqrt2)^2+2sqrt5\ sqrt2`

`=5+2+2sqrt10`

`=7+2sqrt10`उत्तर

(iv) `(sqrt5-sqrt2)(sqrt5+sqrt2)`

हल

दिया गया है, `(sqrt5-sqrt2)(sqrt5+sqrt2)`

`=(sqrt5)^2-(sqrt2)^2`

= 5 – 2

= 3 उत्तर

प्रश्न संख्या (3) आपको याद होगा कि `pi` को एक वृत्त की परिधि (मान लिजिए c) और उसके व्यास (मान लिजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात `pi = c/d` है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि `pi` अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?

हल

किसी स्केल या टेप से मापन के समय किसी भी परिमेय संख्या के मान को लगभग में लिया जाता है। यही कारण है कि किसी वृत्त की परिधि को मापते समय अर्थात `pi` को गणना की सुविधा के लिए केवल लगभग में लिया जाता है। यही कारण है कि वृत्त की `pi` एक परिमेय संख्या है, परंतु जब सूक्ष्म गणना की जाती है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि `pi` एक अपरिमेय संख्या है।

अत: `pi` के अपरिमेय संख्या होने में कोई अंतर्विरोध नहीं है।

प्रश्न संख्या (4) संख्या रेखा पर `sqrt(9.3)` को निरूपित कीजिए।

हल:

`sqrt(9.3)` को संख्या रेखा पर निरूपित करने के चरण

(a) एक क्षैतिज रेखा पर 9.3 इकाई की एक क्षैतिज रेखा लिजिए, जैसे मान लिया CA = 9.3 इकाई

(b) अब AB = 1 इकाई लिजिए

(c) अब रेखा CB का मध्य बिन्दु लिजिए।

(d) मध्य बिन्दु से CB रेखाखंड पर एक अर्धवृत्त खींचिए।

(e) बिन्दु A से एक लम्ब खींचिए जो अर्धवृत्त को बिन्दु D पर काटता है।

(f) यह AD = `sqrt(9.3)` है।

(g) AD को प्रकाल से माप कर क्षैतिज रेखा CB पर A से रेखा AE = AD = `sqrt(9.3)` काटिये।

(h) अर्थात AD = AE `=sqrt(9.3)`

यह AE संख्या रेखा पर `sqrt(9.3)` का निरूपण है।

प्रमाण :

ऊपर दिये गये चित्र से यह स्पष्ट है कि

CA = 9.3 इकाई

AB = 1 इकाई

∴ अत: वृत्त का व्यास = 9.3 + 1 = 10.3 इकाई

∴ त्रिज्या, OB = OC = OD `=(10.3)/2` इकाई

अब, OA = OB – AB

`=>OA=(10.3)/2\-1`

`=>OA=(10.3-2)/2`

`=>OA=(8.3)/2`

अब त्रिभुज, ODA में,

∠ A = 90⁰

∴ पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

OD² = OA² + AD²

⇒ AD² = OD² – OA²

`=>AD^2 =(( 10.3)/2)^2-((8.3)/2)^2`

`=>AD^2=(106.09)/4-(68.89)/4`

`=>AD^2=(106.09-68.89)/4`

`=>AD^2=(37.2)/4=9.3`

`:. AD= sqrt(9.3)`

यहाँ AD = `sqrt(9.3)` प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए

(i) `1/sqrt7`

हल:

दिया गया है, `1/sqrt7`

`sqrt7/sqrt7` से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

`=1/sqrt7xxsqrt7/sqrt7`

`=sqrt7/7` उत्तर

(ii) `1/(sqrt7-sqrt6)`

हल:

दिया गया है, `1/(sqrt7-sqrt6)`

दिए गये संख्या में `(sqrt7+sqrt6)/ (sqrt7+sqrt6)` से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

`=1/(sqrt7-sqrt6)xx(sqrt7+sqrt6)/ (sqrt7+sqrt6)`

`=(sqrt7+sqrt6)/ ((sqrt7-sqrt6) (sqrt7+sqrt6))`

अब सूत्र (a + b) (a – b) = a² – b² के अनुसार

`(sqrt7+sqrt6)/((sqrt7)^2-(sqrt6)^2)`

`=(sqrt7+sqrt6)/(7-6)`

`=(sqrt7+sqrt6)/1`

`=(sqrt7+sqrt6)` उत्तर

(iii) `1/(sqrt5+sqrt2)`

हल:

दिया गया है, `1/(sqrt5+sqrt2)`

दिये गये संख्या को `(sqrt5-sqrt2)/ (sqrt5-sqrt2)` से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

`1/(sqrt5+sqrt2)xx(sqrt5-sqrt2)/ (sqrt5-sqrt2)`

`=(sqrt5-sqrt2)/( (sqrt5+sqrt2) (sqrt5-sqrt2))`

सूत्र (a + b) (a – b) = a² – b² के अनुसार

`=(sqrt5-sqrt2)/((sqrt5)^2-(sqrt2)^2)`

`=(sqrt5-sqrt2)/(5-2)`

`=(sqrt5-sqrt2)/3` उत्तर

(iv) `1/(sqrt7-2)`

हल:

दिया गया है, `1/(sqrt7-2)`

दिये गये संख्या को `(sqrt7+2)/ (sqrt7+2)` से गुणा करने पर

`1/(sqrt7-2)xx(sqrt7+2)/ (sqrt7+2)`

`=(sqrt7+2)/( (sqrt7-2) (sqrt7+2))`

सूत्र (a + b) (a – b) = a² – b² के अनुसार

`=(sqrt7+2)/((sqrt7)^2-2^2)`

`=(sqrt7+2)/(7-4)`

`=(sqrt7+2)/3` हल