संख्या पद्धति (नवम गणित): क्लास नौवीं गणित

वास्तविक संख्याओं के लिए धातांक नियम

(i) `a^m\ *\ a^n=a^(m+n)`

(ii) `(a^m)^n = a^(m*n)`

(iii) `a^m/a^n = a^(m-n)`, m>n

(iv) `a^m\ b^m = (a\ b)^m`

(v) `a^0 = 1`

(vi) `1/a^n=a^(-n)`

एनसीईआरटी प्रश्नावली 1.6 का हल (नवम गणित सीबीएसई पाठ्यक्रम)

प्रश्न संख्या (1) ज्ञात कीजिए

(i) `64^(1/2)`

हल

दिया गया है, `64^(1/2)`

`=(8xx8)^(1/2)`

`=(8^2)^(1/2)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `(8^2)^(1/2) =8^(2xx1/2)`

`=8^1 = 8`

अत:, `64^(1/2)= 8` उत्तर

(ii) `32^(1/5)`

हल:

दिया गया है, `32^(1/5)`

`=(2xx2xx2xx2xx2)^(1/5)`

`=(2^5)^(1/5)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `=(2^5)^(1/5) = 2^(5xx1/5)`

`=2^1 = 2`

अत: `32^(1/5)=2` उत्तर

(iii) `125^(1/3)`

हल:

दिया गया है, `125^(1/3)`

`=(5xx5xx5)^(1/3)`

`=(5^3)^(1/3)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `(5^3)^(1/3)=5^(3xx1/3)`

`=5^1=5`

अत:, `125^(1/3) =5` उत्तर

प्रश्न संख्या (2) ज्ञात कीजिए

(i) `9^(3/2)`

हल:

दिया गया है, `9^(3/2)`

`=(3xx3)^(3/2)`

`=(3^2)^(3/2)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `(3^2)^(3/2)=3^(2xx3/2)`

`=3^3=3xx3xx3=27`

अत: `9^(3/2)=27` उत्तर

(ii) `32^(2/5)`

हल:

दिया गया है, `32^(2/5)`

`=(2xx2xx2xx2xx2)^(2/5)`

`=(2^5)^(2/5)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `(2^5)^(2/5)=2^(5xx2/5)`

`=2^2=2xx2=4`

अत: `32^(2/5) =4` उत्तर

(iii) `16^(3/4)`

हल:

दिया गया है, `16^(3/4)`

`=(2xx2xx2xx2)^(3/4)`

`=(2^4)^(3/4)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

∴ `(2^4)^(3/4) = 2^(4xx3/4)`

`=2^3=2xx2xx2=8`

अत: `16^(3/4) = 8` उत्तर

(iv) `125^((-1)/3)`

हल:

दिया गया है `125^((-1)/3)`

`= (5xx5xx5)^ ((-1)/3)`

`=(5^3)^((-1)/3)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

अत:, `(5^3)^((-1)/3)=5^(3xx(-1)/3)`

`=5^(-1)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `1/a^m= a^(-m)`

अत:, `5^(-1)=1/5`

अत: `125^((-1)/3)=1/5` उत्तर

प्रश्न संख्या (3) सरल कीजिए:

(i) `2^(2/3)\ *\ 2^(1/5)`

हल:

दिया गया है, `2^(2/3)\ *\ 2^(1/5)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `a^m\ * \ a^n=a^(m+n)`

अत: `2^(2/3)\ *\ 2^(1/5)`

`=2^(2/3+1/5)`

`=2^((10+3)/15)`

`=2^(13/15)` उत्तर

(ii) `(1/3^3)^7`

हल :

दिया गया है, `(1/3^3)^7`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `1/a^n = a^(-n)`

`=(3^(-3))^7`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `(a^m)^n=a^(m*n)`

अत:, `(3^(-3))^7 = 3^(-3xx7)`

`=3^(-21)` उत्तर

या, `=1/3^(-21)` उत्तर

(iii) `11^(1/2)/11^(1/4)`

हल:

दिया गया है, `11^(1/2)/11^(1/4)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `a^m/a^n = a^(m-n)`

`11^(1/2-1/4)`

`=11^((2-1)/4)`

`=11^1/4` उत्तर

(iv) `7^(1/2)\ *\ 8^(1/2)`

हल:

दिया गया है, `7^(1/2)\ *\ 8^(1/2)`

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम के अनुसार हम जानते हैं कि `a^m\ *\ b^m=(ab)^m`

`(7xx8)^(1/2)`

`=56^(1/2)` उत्तर