त्रिभुज (नौवीं का गणित): क्लास नौवीं गणित

प्रश्न संख्या (1) एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠ B और ∠ C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि

(i) OB = OC

(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है।

हल

दिया गया है, Δ ABC में AB = AC

OB कोण ∠ B को समद्विभाजित करता है

और OC कोण ∠ C को समद्विभाजित करता है।

प्रमाणित करना है कि

(i) OB = OC

(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण (i)

Δ ABC में

OC कोण C को समद्विभाजित करता है।

अत:, ∠ ACO = ∠ OCB

तथा OB कोण ∠ B को समद्विभाजित करता है

अत:, ∠ ABO = ∠ OBC

चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते हैं

अत:, ∠ ABC = ∠ ACB

⇒ ∠ ACO = ∠ ABO ---------- (i)

अब, Δ AOC और Δ AOB

AO = AO ( दोनों त्रिभुओं में उभनिष्ठ भुजा है।)

∠ ACO = ∠ ABO (समीकरण (i) से)

AB = AC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

अत: SAS सर्वांगसमता के आधार पर

Δ AOC ≅ Δ AOB

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं। अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

OC = OB प्रमाणित

प्रमाण (ii)

चूँकि, Δ AOC ≅ Δ AOB

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं। अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

∠ CAO = ∠ BAO

⇒ AO कोण A को समद्विभाजित करता है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या (2) Δ ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।

हल

दिया गया है, Δ ABC में

AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है

प्रमाणित करना है

Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC

प्रमाण

Δ ABD और Δ ADC में

BD = DC (चूँकि प्रश्न के अनुसार AD भुजा BC को समद्विभाजित करता है।)

∠ ADB = ∠ ADC = 90⁰

(चूँकि AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है।)

AD = AD (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा है)

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम के आधार पर

Δ ABD ≅ Δ ADC

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं। अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

AB = AC

अत:, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC प्रमाणित

प्रश्न संख्या (3) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमश: शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गये हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।

हल

दिया गया है, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AC = AB है, जिनपर BE और CF क्रमश: शीर्षलम्ब हैं।

i.e. AC = AB (समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ हैं)

प्रमाणित करना है CB = BE

प्रमाण

Δ BFC और Δ BEC में

∠ FBC = ∠ ECB

(Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते हैं।)

BC = BC (त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा है।)

∠ BFC = ∠ BEC = 90⁰

(चूँकि CF और BE क्रमश: AC और AB पर शीर्षलम्ब हैं।)

अत: ASA (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता के आधार पर

Δ BFC ≅ Δ BEC

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं। अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

CF = BE

अर्थात दिये गये त्रिभुज के शीर्षलम्ब बराबर हैं। Proved

प्रश्न संख्या (4) ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गये शीर्षलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) Δ ABE ≅ Δ ACF

(ii) AB = AC, अर्थात Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल

दिया गया है, Δ ABC में

CF और BE क्रमश: AB और AC पर खींचे गये शीर्षलम्ब हैं।

AB = AC (समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ हैं, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।)

प्रमाणित करना है कि

(i) Δ ABE ≅ Δ ACF

(ii) AB = AC, अर्थात Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रमाण (i)

Δ ABE और Δ ACF में

∠ BAE = ∠ CAF (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण है)

AB = AC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

∠ CFA = ∠ BEA = 90⁰

(चूँकि CF और BE क्रमश: AC और AB पर शीर्षलम्ब हैं।)

अत: ASA (Angle-Side-Angle) सर्वांगसमता के नियम के आधार पर

Δ ABF ≅ Δ ACF प्रमाणित

प्रमाण (ii)

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, AC और AB बराबर है

अत:, AB = AC, i.e. अर्थात Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠ ABD = ∠ ACD है।

हल

दिया गया , Δ ABC and Δ DCB एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

जिसमें AB = AC और BD = DC

दोनों त्रिभुज एक ही आधार BC पर स्थित है।

दर्शाना है कि ∠ ABD = ∠ ACO

बनाबट

A और D को मिलाया गया

प्रमाण

Δ ABD और Δ ACD में

AB = AC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।)

BD = DC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।)

AD = AD (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा है)

अत:, SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता के नियम के आधार पर

Δ ABD ≅ Δ ADC

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं। अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

∠ ABD = ∠ ACD प्रमाणित

प्रश्न संख्या (6) Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠ BCD एक समकोण है।

हल

दिया गया है, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें

AB = AC = AD

प्रमाणित करना है ∠ BCD समकोण है अर्थात ∠ BCD = 90⁰

प्रमाण

Δ ABC में

AB = AC

⇒ ∠ ABC = ∠ ACB ----------- (i)

(समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते हैं।)

उसी तरह, Δ ACD में,

AC = AD

अत:, ∠ ACD = ∠ ADC --------- (ii)

(समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते हैं।)

अब, Δ ABC में

∠ CAB + ∠ ACB + ∠ ABC = 180⁰

(चूँकि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग बराबर 180⁰ होता है।)

⇒ ∠ CAB + ∠ ACB + ∠ ACB = 180⁰

[चूँकि समीकरण (i) से ∠ ABC = ∠ ACB]

⇒ ∠ CAB + 2 ∠ ACB = 180⁰

⇒ ∠ CAB = 180⁰ – 2 ∠ ACB ------------- (iii)

उसी प्रकार, in Δ ADC

∠ CAD = 180⁰ – 2 ∠ ACD ------------- (iv)

अब समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

∠ CAB + ∠ CAD = 180⁰ – 2 ∠ ACB + 180⁰ – 2 ∠ ACD

⇒ 180⁰ = 180⁰ + 180⁰ – 2 ∠ ACB – 2 ∠ ACD

[चूँकि, ∠ CAB + ∠ CAD = 180⁰]

⇒ 180⁰ = 360⁰ – 2(∠ ACB + ∠ ACD)

⇒ 2 (∠ ACB + ∠ ACD) = 360⁰ – 180⁰

⇒ 2( ∠ ACB + ∠ ACD) = 180⁰

[Because, ∠ ACB + ∠ ACD = BCD]

⇒ 2 ∠ BCD = 180⁰

⇒ ∠ BCD = 180⁰ / 2

⇒ ∠ BCD = 90⁰ प्रमाणित

प्रश्न संख्या (7) ABC एक समकोण त्रिभुज , जिसमें ∠ A = 90⁰ और AB = AC है। ∠ B और ∠ C ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, ABC एक समकोण त्रिभुज है

जिसमें, ∠ A = 90⁰, और AB = AC

अत:, ∠ B and ∠ C = ?

Δ ABC में

∠ A = 90⁰ और

AB = AC

अत:, ∠ B = ∠ C -------- (i)

(एक समद्विबाहु त्रिभुज के बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते हैं।)

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180⁰

अत:, ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180⁰

⇒ 90⁰ + ∠ B + ∠ C = 180⁰

[चूँक़ि ∠ A = 90]

⇒ 90⁰ + ∠ B + ∠ B = 180⁰

[चूँकि , ∠ B = ∠ C समीकरण (i) के अनुसार]

⇒ 90⁰ + 2 ∠ B = 180⁰

⇒ 2 ∠ B = 180⁰ – 90⁰

⇒ 2 ∠ B = 90⁰

अत:, ∠ B = 90⁰ / 2

⇒ ∠ B = 45⁰

और ∠ C = 45⁰

[चूँक़ि ∠ B = ∠ C]

अत:, ∠ B = ∠ C = 45 उत्तर

प्रश्न संख्या (8) दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60⁰ के बराबर होता है।

हल

मान लिया कि , Δ ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

अत:, AB = BC = AC

प्रमाणित करना है कि प्रत्येक कोण = 60⁰

i.e. ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60⁰

प्रमाण

हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण बराबर होते हैं।

अर्थात ∠ A = ∠ B = ∠ C

और त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180⁰

अत:, Δ ABC में

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180

⇒ ∠ A + ∠ A + ∠ A = 180⁰

[चूँकि ∠ A = ∠ B = ∠ C]

⇒ 3 ∠ A = 180⁰

अत:, ∠ A = 180⁰ / 3

⇒ ∠ A = 60⁰

चूँकि, एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर होते हैं, अत: समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण = 60⁰ प्रमाणित