त्रिभुज (नौवीं का गणित): क्लास नौवीं गणित

प्रश्न संख्या (1) Δ ABC और Δ DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाईए कि

(i) Δ ABD ≅ Δ ACD

(ii) Δ ABP ≅ Δ ACP

(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।

(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

हल

दिया गया है, Δ ABC और Δ DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। A और D दोनों त्रिभुजों के एक ही ओर स्थित हैं।

अत: प्रमाणित करना है कि

(i) Δ ABD ≅ Δ ACD

प्रमाण

Δ ABD और &Delta ACD में,

दोनों समद्विबाहु त्रिभुज हैं,

अत:, AB = AC

[चूँकि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं।]

AD = AC (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ हैं।)

BD = DC (चूँकि Δ BDC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।)

अत: भुजा भुजा भुजा सर्वांगसमता कसौटी के आधार पर

Δ ABD ≅ Delta; ACD प्रमाणित

(ii) Δ ABP ≅ Δ ACP

जैसा कि ऊपर (प्रश्न (i) में) प्रमाणित किया गया है, Δ ABD ≅ Delta; ACD

अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के अनुसार

∠ BAD = ∠ DAC -----------(i)

अब Δ ABP और Δ ACP में

∠ BAP = ∠ PAC [जैसा कि ऊपर प्रमाणित किया गया है (i) में]

AP = AP [दोनों त्रिभुज में उभयनिष्ठ (कॉमन) है। ]

∠ ABP = ∠ ACP

[चूँक़ि, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है और एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं।]

अत: ASA (कोण भुजा कोण) सर्वांगसमता की कसौटी के अनुसार

Δ ABP ≅ Δ ACP

प्रमाणित

(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।

समीकरण (i) से

∠ BAD = ∠ DAC

⇒ ∠ BAP = ∠ PAC

⇒ AP कोण A को समद्विभाजित करता है।

और Δ BPD और Δ PDC में

BD = DC

(चूँकि Δ BDC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।)

DP = DP (दोनों त्रिभुज में कॉमन (उभयनिष्ठ) है।)

BP = PC

[चूँकि &Delat; ABP ≅ APC, CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर]

अत:, SSS (भुजा भुजा भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के आधार पर

Δ BPD ≅ Δ PDC

अत:

CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

∠ BDP = ∠ PDC

अत:, AP कोण A और कोण D को समद्विभाजित करता है।

(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है॥

चूँक़ि Δ BPD ≅ Δ PDC (ऊपर प्रमाणित किया गया है)

अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

∠ BPD = ∠ CPD

और BP = CP

अब चूँकि BC एक सीधी रेखा है

अत:, ∠ BPD + ∠ CPD = 180⁰

⇒ ∠ BPD + ∠ BPD = 180⁰

⇒ 2 ∠ BPD = 180⁰

⇒ ∠ BPD = 180⁰ / 2 = 90⁰

अत: ∠ BPD = 90⁰ प्रमाणित

प्रश्न संख्या (2) AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि

(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।

(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

हल

मान लिया कि, ABC दिया गया समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें दिया गया है,

AB = AC और AD शीर्षलम्ब है।

अत: प्रमाणित करना है कि

(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है

त्रिभुज ADB और त्रिभुज ADC मे

AB = AC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।)

AD = AD (दोनों त्रिभुज में उभयनिष्ठ है।)

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) सर्वांगसमता की कसौटी के आधार पर

Δ ADB ≅ Δ ADC

तथा CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

BD = DC

अत: AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है। प्रमाणित

(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

जैसा कि ऊपर प्रश्न (i) मे प्रमाणित किया गया है, Δ ADB ≅ Δ ADC

CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के आधार पर

∠ BAD = ∠ DAC

अत:, AD कोण A को समद्विभाजित करता है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या (3) एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा मध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा मध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) Δ ABM ≅ Δ PQN

(ii) Δ ABC ≅ Δ PQR

हल

दिया गया है, ABC और PQR दो त्रिभुज हैं जिसमें

भुजा AB = भुजा PQ और भुजा BC = भुजा QR

तथा Δ AMC की मध्यिका AM = Δ PQR की मध्यिका PN

अत: प्रमाणित करना है कि

(i) Δ ABM ≅ Δ PQN

Δ ABM और Δ PQN में

AB = PQ (प्रश्न के अनुसार)

AM = PN (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है कि दोनों मध्यिकाएँ बराबर है।)

BM = QN

[चूँकि, BC = QR

⇒ 1/2 BC = 1/2 QR

⇒ BM = QN]

अत: भुजा भुजा भुजा (SSS) सर्वांगसमता की कसौटी के आधार पर

Δ ABM ≅ Δ PQN प्रमाणित

प्रमाणित करें (ii) Δ ABC ≅ Δ PQR

Δ ABC और Δ PQR में

AB = PQ (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

और चूँकि Δ ABM ≅ PQN, अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के अनुसार

∠ ABC = ∠ PQR

BC = QR (प्रश्न के अनुसार)

अत: SAS (भुजा कोण भुजा) कसौटी के आधार पर

Δ ABC ≅ Δ PQR प्रमाणित

प्रश्न संख्या (4) BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल

मान लिया कि ABC दिया गया त्रिभुज है।

जिसमें BE = CF = शीर्षलम्ब है।

तो RHS नियम का प्रयोग करके प्रमाणित करना हैं कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रमाण

Δ CBF और Δ BEC

∠ CFB = ∠ BEC = 90⁰

[चूँकि प्रश्न के अनुसार, BE और CF त्रिभुज ABC के शीर्षलम्ब है]

BC = BC (दोनों त्रिभुज में उभयनिष्ठ (कॉमन) है।)

BE = CF ( प्रश्न के अनुसार शीर्षलम्ब बराबर है)

अत: RHS सर्वांगसमता नियम के अनुसार

Δ CBF ∠ Δ BEC

अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के अनुसार

∠ FBC = ∠ ECF

⇒ AB = AC

(चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के आमने सामने के कोण बराबर होते है।)

अत:, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠ B = ∠ C.

हल

मान लिया कि, Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें प्रश्न के अनुसार AB = AC और AP ⊥ BC

अत: प्रमाणित करना है कि ∠ B = ∠ C

प्रमाण:

Δ ABP और Δ ACP मे

AB = AC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

AP = AP (दोनों त्रिभुज में कॉमन (उभयनिष्ठ) है।

∠ APB = ∠ APC = 90⁰

(चूँकि प्रश्न के अनुसार AP ⊥ BC)

अत: RHS सर्वांगसमता नियम के आधार पर

Δ APB ≅ ACP

अत: CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए) के अनुसार

∠ B = ∠ C अत: प्रमाणित