गति

प्रश्न संख्या : (1) एक एथलीट वृत्तीय रास्ते, जिसका व्यास 200 m है, का एक चक्कर 40 s में लगाता है। 2 minutes 20s के बाद वह कितनी दूरी तय करेगा और उसका विस्थापन क्या होगा?

हल:

दिया गया है, वृत्तीय रास्ते का व्यास, d = 200 m.

अत: त्रिज्या, r = ^{200 m}/₂ = 100 m

एक चक्कर लागाने में लगने वाला समय, t = 40 s

अब दिये गये समय 2 मिनट 20 s = 2 × 60 + 20 = 140 s

दिये गये समय में तय की गई दूरी, s =?

तथा इतने समय में विस्थापन =?

दिये गये वृत्तीय रास्ते का एक चक्कर लगाने में तय की जाने वाली दूरी = वृत्तीय रास्ते की परिधि

हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = 2 π r

∴ अत: दिये गये रास्ते की परिधि = 2 × π × 100 m

या, परिधि = 200 π m /p>

∵ 40 s में एथलीट द्वारा तय की गई दूरी = 200 π m

∴ 1 s में एथलीट द्वारा तय की गई दूरी = ^{200 π m}/_{40 s}

∴ 140 s में एथलीट द्वारा तय की गई दूरी = ^{200 π m}/_{40 s} × 140 s

= ^{200 m × 140 s × 22}/_{40 s × 7}

= 5 m × 20 × 22 = 2200 m

अब चक्कर की संख्या = ^{कुल दूरी} / _{परिधि}

= ^{2200 m}/_{200 π}

= ^{2200 m}/_{200 × ²²/7}

= ^{2200 m × 7}/_{200 × 22} = 3.5 चक्कर

अत: दिये गये समय 2 मिनट 20 सेकेंड में एथलीट द्वारा वृत्तीय रास्ते का 3.5 चक्कर लगाया जाता है।

3.5 चक्कर का अर्थ है, तीन चक्कर तथा आधा चक्कर। अर्थात 3.5 चक्कर में एथलीट शुरू किये गये स्थान से ठीक विपरीत दिशा में होगा।

शुरू किये गये स्थान से ठीक विपरीत का अर्थ है, एथलीट का विस्थापन वृत्तीय रास्ते के व्यास के बराबर अर्थात 200 m है।

अत: दिये गये समय में तय की गई दूरी = 2200 मीटर तथा विस्थापन = 200 मीटर उत्तर

प्रश्न संख्या : (2) 300 m सीधे रास्ते पर जोसेफ जागिंग करता हुआ 2 मिनट 30 s में एक सिरे A से दूसरे सिरे B पर पहुँचता है और घूमकर 1 मिनट में 100 m पीछे बिन्दु C पर पहुँचता है। जोसेफ की औसत चाल और औसत वेग क्या होंगे? (a) सिरे A से B तक तथा (b) सिरे A से C तक

हल:

नोट: अंग्रेजी माध्यम की किताब में एक सिरे A से दूसरे सिरे B पर पहुँचने का समय 2 मिनट 30 s दिया गया है, जबकि हिन्दी माध्यम की किताब में यह समय 2 मिनट 50 s दिया गया है। इस प्रश्न का हल अंग्रेजी माध्यम के किताब में दिये गये समय (2 मिनट 30 s) के अनुसार किया जा रहा है। जिस भी विद्यार्थी को हिन्दी माध्यम में दिये गये समय के अनुसार गणना करना है, समय बदल कर गणना करें। हल करने की विधि समान होगी।

दिया गया है, तय की गई दूरी (एक सिरे A से दूसरे सिरे B तक), s = 300 m

इस दूरी को तय करने में लगा समय, t = 2 मिनट 30 सेकेंड

⇒ t= 2 × 60 + 30 = 150 s

तथा A से C तक की दूरी, s = 300 m + 100 m = 400 m.

100 m (B से C तक) को तय करने में लगा समय = 1 मिनट = 60 सेकेंड

अत: कुल दूरी A से B तथा B से C तक अर्थात, i.e. A से C तक

= 150 s + 60 s = 210 s

अत: औसत चाल तथा वेग =?

औसत चाल की गणना (A से B तक)

हम जानते हैं कि औसत चाल, v = ^{कुल दूरी} /_{कुल लिया गया समय}

= ^{300 m}/_{150 s}

⇒ v = 2 m/s

औसत वेग की गणना (A से B तक)

चूँकि यहाँ (A से B तक) तय की गई दूरी तथा विस्थापन बराबर है, जो कि 300 m है। अत: औसत चाल तथा वेग दोनों बराबर होगा।

अत: यहाँ विस्थापन = 300 m तथा लिया गया समय = 150 s

हम जानते हैं कि, औसत वेग, v_av = ^{विस्थापन} / _{कुल लिया गया समय}

v_av = ^{300 m}/_{150 s} = 2 m/s

अत: औसत चाल = औसत वेग = 2 m/s

औसत चाल की गणना (A से C तक)

A से C तक की कुल दूरी = A से B तक की दूरी + B से C तक की दूरी

∴ अत: A से C तक कुल तय की गई दूरी = 300 m + 100 m = 400 m

कुल समय = A से B तक पहुँचने में लगा समय + B से C तक पहुँचने में लगा समय

अत: कुल समय = 150 s + 60 s = 210 s

हम जानते हैं कि औसत चाल, v = ^{कुल तय की गई दूरी} / _{कुल समय}

⇒ v = ^{400 m}/_{210 s}

⇒ v = 1.9 m/s

औसत वेग की गणना (A से C तक)

हम जानते हैं कि विस्थापन = प्रारम्भिक बिन्दु से अंतिम बिन्दु तक की दूरी

यहाँ विस्थापन = A से C तक की दूरी = 300m – 100 m = 200 m

कुल लिया गया समय = A से B तक पहुँचने मे गया समय + B से C तक पहुँचने में लगा समय

अत: कुल समय = 150 s + 60 s = 210 s

हम जानते हैं कि औसत वेग, v_av = ^{विस्थापन} / _{कुल लिया गया समय}

⇒ v_av = ^{200 m}/_{210 s}

⇒ v_av = 0.95 m/s

अत: (a) A से B तक औसत चाल तथा औसत वेग = 2 m/s

तथा (b) A से C तक औसत चाल = 1.9 m/s तथा औसत वेग = 0.95 m/s उत्तर

प्रश्न संख्या : (3) अब्दुल गाड़ी से स्कूल जाने के क्रम में औसत चाल को 20 km h^–1 पाता है। उसी रास्ते से लौटने के समय वहाँ भीड़ कम है और औसत चाल 30 km h^–1 है। अब्दुल की इस पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है?

हल:

दिया गया है, अब्दुल द्वारा गाड़ी से स्कूल जाने के क्रम में औसत चाल = 20 km/h

तथा अब्दुल द्वारा लौटने के क्रम में औसत चाल = 30 km/h

अत:, पूरी यात्रा की औसत चाल =?

मान लिया कि स्कूल की दूरी = s km

चूँकि अब्दुल उसी रास्ते से लौटता है, अत: स्कूल जाते तथा लौटने के बाद कुल दूरी = s + s = 2s km

तथा मान लिया कि स्कूल जाते समय लगने वाला समय = t₁ h

तथा स्कूल से लौटते समय लगने वाला समय = t₂ h

प्रश्न के अनुसार स्कूल जाते समय औसत चाल = 20 km/h

हम जानते हैं कि, औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय

⇒ 20 km/h = ^{s km}/_t1

⇒ t₁ = ^{s km}/_{20 km/h}

⇒ t₁ = ^s/_{20 h}

पुन: दिया गया है, स्कूल से लौटते समय औसत चाल = 30 km/h

हम जानते हैं कि, औसत चाल = ^{कुल दूरी} / _{कुल समय}

⇒ 30 km/h = ^{s km}/_t2

⇒ t₂ = ^{s km}/_{30 km/h}

⇒ t₂ = ^s/_{30 h}

अत: स्कूल जाने तथा लौटने में लगा हुआ कुल समय

⇒ t₁ + t₂ = ^s/_20h + ^s/_{30 h}

⇒ t₁ + t₂ = ^{3 s + 2 s}/_{60 h}

⇒ t₁ + t₂ = ^{5 s}/_{60 h}

अब स्कूल जाने तथा लौटने में औसत चाल = ^{कुल तय की गई दूरी} / _{कुल लिया गया समय}

= ^{2 s km}/_{t1 + t2}

= ^{2 s km}/_{^{5 s}/60 h}

= ^{2 s km × 60}/_{5 s}

= ^{120 s km}/_{5 s}

= 24 km/h

अत: अब्दुल की इस पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल = 24 km /h. उत्तर.