गति

प्रश्न संख्या : (4) कोई मोटरबोट झील में सरल रेखीय पथ पर 3.0 m s^–2 की नियत त्वरण से 8.0 s तक चलती है। इस समय अंतराल में मोटरबोट कितनी दूरी तय करती है?

उत्तर:

दिया गया है, प्रारम्भिक चाल, u = 0 [चूँकि प्रारम्भिक चाल नहीं दिया गया है, अत: मान लिया गया कि चलने से पहले मोटरबोट विरामावस्था में थी।]

त्वरण, a = 3.0 m s^–2

समय, t = 8.0 s

अत: दूरी, s = ?

हम जानते हैं कि, s = ut + ¹/₂ at²

⇒ s = 0 × 8 s + ¹/₂ × 3 m s^{– 2} × (8 s)²

⇒ s = ¹/₂ × 3 m s^{– 2} × 64 s²

⇒ s = 3 m s^–2 × 32 s²

⇒ s = 96 m

अत: दिये गये समय में तय की गई दूरी = 96 m. उत्तर

प्रश्न संख्या : (5) किसी गाड़ी का चालक 52 km h^–1 की गति से चल रही कार में ब्रेक लगाता है तथा कार विपरीत दिशा में एकसमान दर से त्वरित होती है। कार 5 s में रूक जाती है। दूसरा चालक 3 km h^–1 की गति से चलती हुई दूसरी कार पर धीमे धीमे ब्रेक लगाता है तथा 10 s में रूक जाता है। एक ही ग्राफ पेपर पर दोनों कारों के लिए चाल-ग्राफ आलेखित करे। ब्रेक लगाने के पश्चात दोनों में से कौन सी कार अधिक दूरी तक जाएगी?

हल:

दिया गया है,

पहली कार के लिये

समय, t₁ = 5 s

वेग, u₁ = 52 km h^{– 1}

= ^{52 × 1000}/_{60 × 60 m s^{– 1}}

⇒ u₁ = 14.44 m s^{– 1}

दूसरी कार के लिये

समय, t₂ = 10 s

वेग, u₂ = 3 km h^–1

= ^{3 × 1000}/_{60 × 60} m s^{– 1}

⇒ u₂ = 0.83 m s^{– 1}

चूँकि दोनों कार ब्रेक मारने के बाद रूक जाती है, अत: v₁ = 0 तथा v₂ = 0

हम जानते हैं कि वेग-समय ग्राफ में ग्राफ के नीचे का क्षेत्र गति कर रही वस्तु द्वारा तय की गई दूरी को बतलाता है।

अत: ग्राफ के अनुसार, त्रिभुज OCA का क्षेत्रफल पहली कार द्वारा तय की गई दूरी के बराबर होगा।

अत: त्रिभुज OCA का क्षेत्रफल = ¹/₂ × OA × OC

= ¹/₂ × 14.44 m s^{– 1} × 5 s

= 36.1 m

अत: पहली कार द्वारा तय की गई दूरी = 36.1 m

अब ग्राफ में त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल दूसरी कार द्वारा तय की गई दूरी को बतलाता है।

अत: त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल = ¹/₂ × OB × OD

= ¹/₂ × 0.83 m s^{– 1} × 10 s

= 0.83 m s^{– 1} × 5 s

= 4.15 m

अत: दूसरी कार द्वारा तय की गई दूरी, जो कि 10 s के बाद रूक जाती है = 4.15 m

अत: पहली कार जो कि 52 km/h की चाल से चल रही है, ब्रेक मारने पर रूकने से पहले ज्यादा दूरी तय करेगी। उत्तर

प्रश्न संख्या : (6) चित्र में तीन वस्तुओं A, B तथा C के दूरी-समय ग्राफ प्रदर्शित हैं। ग्राफ का अध्ययन करके निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए::

(a) तीनों में से कौन सबसे तीव्र गति से गतिमान है?

(b) क्या ये तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिन्दु पर होंगे?

(c) जिस समय B, A से गुजरती है उस समय तक C कितनी दूरी तय कर लेती है?

(d) जिस समय B, C से गुजरती है उस समय तक यह कितनी दूरी तय कर लेती है?

हल:

ग्राफ के अनुसार दूरी अक्ष पर 1 वर्ग = 4/7 km

तथा समय अक्ष पर 1 वर्ग = 0.4/5 hour

(a) तीनों में से कौन सबसे तीव्र गति से गतिमान है?

दूरी को y- अक्ष के अनुरूप लेने पर समय के साथ ग्राफ के ढ़ाल की तीव्रता वस्तु की गति को बतलाता है।

वस्तु ग्राफ पर जिसके ढ़ाल की तीव्रता अत्यधिक हो, सबसे अधिक तीव्र गति से गतिमान होती है।

दिये गये ग्राफ से यह स्पष्ट है कि वस्तु B के ग्राफ के ढ़ाल की तीव्रता अधिकतम है, अत: वस्तु B तीनों में अधिकतम गति से गतिमान है।

वैकल्पिक विधि (Alternate method)

वस्तु B के लिये

B के लिये, दूरी = 20.5 वर्ग (लगभग)

= 20.5 × ⁴/₇ km = 11.71 km

समय = 18 वर्ग

= 18 × ^0.4/₅ घंटा

= 1.44 घंटा

हम जानते हैं कि, चाल = ^दूरी / _समय

= ^{11.71 km}/_{1.44 h}

= 8.13 km/h

वस्तु A के लिये

दूरी = 9.5 वर्ग

= 9.5 × ⁴/₇ km

= 5.42 km

तथा समय = 25 वर्ग

= 25 × ^0.4/₅ घंटा

= 2 h

अब हम जानते हैं कि, चाल = ^दूरी / _समय

= ^{5.42 km}/_{2 h}

= 2.71 km/h

वस्तु C के लिये

दूरी = 17 वर्ग

= 17 × ⁴/₇ km

= ⁶⁸/₇ = 9.71 km

समय = 23 वर्ग

= 23 × ^0.4/₅ घंटा

= 1.84 घंटा

हम जानते हैं कि चाल = ^दूरी / _समय

= ^{9.71 km}/_{1.84 h}

= 5.2 km/h

अत: वस्तु B सबसे तीव्र गति से गतिमान है।

(b) क्या ये तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिन्दु पर होंगे?

नहीं, तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिन्दु पर नहीं होंगे, जैसा कि ग्राफ से स्पष्ट है।

(c) जिस समय B, A से गुजरती है उस समय तक C कितनी दूरी तय कर लेती है ?

वस्तु B वस्तु A को m विन्दु पर मिलती है।

इस बिन्दु पर ग्राफ के अनुसार वस्तु C बिन्दु n पर है।

अत:, वस्तु C द्वारा तय की गई दूरी = 10 वर्ग (लगभग)

= 10 × ⁴/₇ km

= 5.71 km

अत: वस्तु C, 5.71 km की दूरी तय कर लेती है, जब B, A से गुजरती है।

(d) जिस समय B, C से गुजरती है उस समय तक यह कितनी दूरी तय कर लेती है?

ग्राफ से स्पष्ट है कि वस्तु B, वस्तु C से गुजरते समय बिन्दु p पर होती है।

इस बिन्दु पर दूरी = 9 वर्ग (लगभग)

= 9 × ⁴/₇ km

= 5.14 km

अत: वस्तु B द्वारा 5.14 km की दूरी तय कर लेती है जब यह वस्तु C से गुजरती है।