वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 12.1 का हल
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 का प्रयोग कीजिए)
प्रश्न संख्या (1) दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल:
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका : (a) दिए गये दोनों वृतों के परिधि की गणना करें। (b) दोनों वृतों की परिधियों को जोड़ें। यह नये वृत्त की परिधि हुई। (c) इस नये वृत्त की परिधि से नये वृत्त के त्रिज्या को ज्ञात करें।]
दिया गया है, पहले वृत्त की त्रिज्या (1) = 19 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (2) = 9 cm
उस वृत्त की त्रिज्या जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है = ?
हम जानते हैं वृत्त की परिधि = 2 π r
अत: बड़े वाले वृत्त की परिधि (1) = 2 × π 19 cm
= 38 π cm
उसी तरह छोटे वाले वृत्त की परिधि (2) = 2 × π 9 cm
= 18 π cm
नये वृत्त की त्रिज्या = पहले वृत्त अर्थात बड़े वाले वृत्त की त्रिज्या (1) + छोटे वाले वृत्त की त्रिज्या (2)
= 38 π cm + 18 π cm
= 56 π cm
मान लिया कि नये वृत्त की त्रिज्या = rn
अत: नये वृत्त की परिधि = 2 π rn
⇒ 56 π cm = 2 π rn
⇒ 2 π rn = 56 π cm
⇒ rn = 56/2 = 28 cm
अत: प्रश्न में दिये गये नये वृत्त की त्रिज्या = 28 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (2) दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल:
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) सर्वप्रथम दिये गये त्रिज्याओं से दोनों वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल को जोड़ दें। यह एक नये वृत्त का क्षेत्रफल हुआ। (c) इस नये क्षेत्रफल के आधार पर नये वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।]
दिया गया है,
पहले वृत्त की त्रिज्या (1) = 8 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (2) = 6 cm
उस वृत्त की त्रिज्या, जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के बराबर है = ?
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
अत: दिये गये पहले वृत्त (1) का क्षेत्रफल = π (8 cm)2
= π 64 cm2
तथा दिये गये दूसरे वृत्त (2) का क्षेत्रफल = π (6 cm)2
= π 36 cm2
अब नये वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त (1) का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त (2) का क्षेत्रफल
= π 64 cm2 + π 36 cm2
= π (64 + 36) cm2
= π 100 cm2
मान लिया कि नये वृत्त की त्रिज्या = r
अत: नये वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
⇒ π 100 cm2 = π r2
⇒ r = 10 cm
अत: प्रश्न में माँगे गये नये वृत्त की त्रिज्या = 10 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (3) आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका: (a) सर्वप्रथम gold क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) अब लाल वाले क्षेत्र की त्रिज्या ज्ञात कर लाल वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें। GOLD वृत्त की त्रिज्या जोड़ 10.5 cm बराबर लाल वाले वृत्त की त्रिज्या होगी, क्योंकि GOLD क्षेत्र को छोड़कर प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 चौड़ी है। (c) अब लाल वृत्त के क्षेत्रफल में GOLD वृत्त के क्षेत्रफल को घटाएँ यह लाल पट्टी का क्षेत्रफल हुआ। (d) इसी तरह सभी अंक पट्टियों का क्षेत्रफल ज्ञात किया जायेगा।]
हल
दिया गया है, GOLD क्षेत्र का व्यास = 21 cm
अत: GOLD क्षेत्र की त्रिज्या = 21/2 = 10.5 cm
चूँकि प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।
अत: लाल पट्टी वाले वृत्त का व्यास = GOLD वृत्त का व्यास + 10.5 cm + 10.5 cm
= 21 cm + 21 cm = 42 cm
अत: लाल पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या = 42/2 = 21 cm
अर्थात लाल पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या = GOLD क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या + 10.5 cm
= 10.5 cm + 10.5 cm = 21 cm
अत: प्रश्न तथा चित्र में दिये गये पाँचों क्षेत्रों में प्रत्येक का क्षेत्रफल = ?
(a) GOLD क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
प्रश्न के अनुसार GOLD क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या = 10.5 cm
अत: GOLD क्षेत्र का क्षेत्रफल =
(b) RED क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना
GOLD वृत्त की त्रिज्या = 10.5 cm
तथा लाल क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या = 21 cm
अत: RED पट्टी का क्षेत्रफल = Red पट्टी वाले वृत्त का क्षेत्रफल – Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 1039.5 cm2
(c) Blue पट्टी के क्षेत्रफल की गणना
जैसा कि प्रश्न में दिया गया है प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।
अर्थात प्रत्येक अगली अंक क्षेत्र पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या पहले वाली से 10.5 cm अधिक है।
यहाँ RED क्षेत्र वाले वृत्त की का व्यास = 42 cm
अत: RED क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या = 21 cm
अत: BLUE क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या = RED क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या + 10.5 cm
= 21 cm + 10.5 cm = 31.5 cm
⇒ BLUE क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या = 31.5 cm
अब BLUE क्षेत्र वाले पट्टी का क्षेत्रफल = BLUE क्षेत्र वाले वृत्त का क्षेत्रफल – RED क्षेत्र वाले वृत्त का क्षेत्रफल
= π (31.5 cm)2 – π (21 cm)2
= 1732.5 cm2
अत: BLUE क्षेत्र वाले अंक पट्टी का क्षेत्रफल = 1732.5 cm2
(d) BLACK क्षेत्र वाले पट्टी के क्षेत्रफल की गणना
जैसा कि प्रश्न में दिया गया है प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।
अर्थात प्रत्येक अगली अंक क्षेत्र पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या पहले वाली से 10.5 cm अधिक है।
अत: BLACK क्षेत्र वाले वृत्त का क्षेत्रफल = BLUE क्षेत्र वाले वृत्त की त्रिज्या + 10.5 cm
= 31.5 cm + 10.5 cm = 42 cm
अत: BLACK वाले वृत्त की त्रिज्या = 42 cm
अत: BLACK पट्टी वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल
= BLACK पट्टी वाले वृत्त का क्षेत्रफल – BLUE पट्टी वाले वृत्त का क्षेत्रफल
= 2425.5 cm2
अत: BLACK क्षेत्र वाले अंक पट्टी का क्षेत्रफल = 2425.5 cm2
(e) WHITE क्षेत्र वाले अंक पट्टी का क्षेत्रफल
जैसा कि प्रश्न में दिया गया है प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।
अर्थात प्रत्येक अगली अंक क्षेत्र पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या पहले वाली से 10.5 cm अधिक है।
अत: WHITE पट्टी वाले वृत की त्रिज्या = BLACK पट्टी वाले वृत्त की त्रिज्या + 10.5 cm
= 42 cm + 10.5 cm = 52.5 cm
अब WHITE पट्टी वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल
= WHITE पट्टी वाले वृत्त का क्षेत्रफल – BLACK पट्टी वाले वृत्त का क्षेत्रफल
[ a2 – b2 = (a + b)(a – b) के उपयोग से]
= 3118.5 cm2
अत: WHITE पट्टी वाले अंक क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3118.5 cm2
प्रश्न संख्या (4) किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है?
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) कार के एक पहिए की परिधि ज्ञात करें। (b) कार द्वारा 10 मिनट में तय की जाने वाली दूरी ज्ञात करें। (c) अब तय की जाने वाली दूरी में पहिए की परिधि से भाग दें, भागफल पहिए द्वारा प्रत्येक 10 मिनट में लगाने वाले चक्कर की संख्या बताएगी।]
हल
दिया गया है, कार के पहिए का व्यास = 80 cm
अत: कार के पहिए की त्रिज्या = 80/2 = 40 cm
कार की गति = 66 km / hour
अत: पहिया द्वारा प्रत्येक 10 मिनट में लगाये जाने वाले चक्कर की संख्या = ?
हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = 2 π r
अत: कार के पहिए की परिधि = 2 π 40 cm
= 40 π cm
अब दिया गया है कार द्वारा 1 घंटे अर्थात 60 मिनट में तय की जाने वाली दूरी = 66 km
अत: कार द्वारा 10 मिनट में तय की जाने वाली दूरी
तथा 11 km = 11 × 1000 × 100 cm
अब,
∵ 40 π cm की दूरी तय करने में कार के पहिए द्वारा लगाए जाने वाले चक्कर की संख्यां = 1
∴ अत: 1 cm की दूरी तय करने में कार के पहिए द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या
∴ अत: 11 × 1000 × 100 cm की दूरी तय करने में कार के पहिए द्वारा लगाये जाने वाले चक्कर की संख्या
= 4375 चक्कर
अत: 10 मिनट में कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या = 4375 उत्तर
प्रश्न संख्या (5) निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
उत्तर: (A) 2 मात्रक
ब्याख्या
दिया गया है, यदि एक वृत्त की परिमाप = क्षेत्रफल
तो त्रिज्या , r = ?
यदि किसी वृत्त की परिमाप = वृत्त का क्षेत्रफल
⇒ 2 π r = π r2
⇒ π r × r = 2 π r
अत: त्रिज्या = 2 मात्रक उत्तर
Reference: