वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

एनसीईआरटी अभ्यास 12.2 का हल

जब तक अन्यथा न कहा जाए, का प्रयोग कीजिए

प्रश्न संख्या (1) 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60⁰ है।

हल

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 6 cm

त्रिज्यखंड का कोण, θ = 60⁰

अत: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत: दिये गये 60⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

=18.857 cm²

अत: दिये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 18.857 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (2) एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिककी परिधि 22 cm है।

हल

दिया गया है, परिधि = 22 cm

अत: वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल =?

हम जानते हैं कि, वृत्त की परिधि = 2 π r

अत:, दिये गये वृत्त की परिधि = 2 π r

⇒ 22cm = 2 π r;

वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल की गणना

वृत्त के चतुर्थांश का अर्थ है किसी वृत्त का 1/4 वां भाग

अर्थात वृत्त के चतुर्थांश का कोण

अत: वृत्त के चतुर्थांश वाले त्रिज्यखंड का कोण, θ = 90⁰

हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

यहाँ, r = 3.5 cm और कोण, θ 90⁰

अत: वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल

अत: दिये गये वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm² Answer

वैकल्पिक विधि (Alternate method)

वृत्त के चतुर्थांश का अर्थ है किसी वृत्त का 1/4 वां भाग

अर्थात किसी वृत्त के क्षेत्रफल का 1/4 वां भाग वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

अत: दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = π (3.5 cm)²

अब वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = वृत्त के क्षेत्रफल का 1/4

= 9.625 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (3) एक घड़ी की मिनट की सूई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सूई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) घड़ी के मिनट की सूई द्वारा 5 मिनट में बनाये जाने वाला कोण ज्ञात कीजिए। (b) धड़ी के मिनट सूई द्वारा 5 मिनट में बनाये गये कोण तथा दिये गये लम्बाई वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।]

दिया गया है, घड़ी की मिनट की सूई की लम्बाई = 14 cm

अर्थात, सूई द्वारा बनाये जाने वाले वृत्त की त्रिज्या = 14 cm

अत: इस दिये गये सूई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि 60 मिनट में किसी घड़ी की मिनट वाली सूई पूरा 1 चक्कर लगाती है।

अर्थात 60 मिनट में किसी घड़ी की मिनट वाली सूई द्वारा 1 चक्कर पूरा करने में बनाया जाने वाला कोण = 360⁰

∵ चूँकि 60 मिनट में घड़ी की मिनट वाली सूई द्वारा बनाया जाने वाला कोण = 360⁰

∴ 1 मिनट में घड़ी की मिनट वाली सूई द्वारा बनाया गया कोण

∴ 5 मिनट में घड़ी की मिनट वाली सूई द्वारा बनाया गया कोण = 6⁰ × 5 = 30⁰

अब, यहाँ θ = 30⁰

और, त्रिज्या, r = 14 cm

हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत:, 30⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 51.33 cm ²

अत: दिये गये घड़ी की सूई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = 51.33 cm ² उत्तर

प्रश्न संख्या (4) 10 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

(i) संगत लघु वृत्तखंड

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हल

[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) चूँकि जीवा द्वारा केन्द्र पर समकोण अंतरित किया जाता है, अत: 90⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) जीवा द्वारा केन्द्र पर अंतरित समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (c) समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल को लघुत्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से घटाने पर संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा। (d) अब वृत्त का क्षेत्रफल निकालकर उसमें से लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल को घटाने पर संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा। ]

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या, r = 10 cm

जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण = 90⁰

अत: संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल =?

तथा संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल =?

हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत: 90⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 78.5 cm ²

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

अब केन्द्र पर जीवा द्वारा बनाये गये समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज का कोण = 90⁰

त्रिभुज की ऊँचाई = 10 cm (चूँकि वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की ऊँचाई है)

त्रिभुज का आधार = 10 cm (चूँकि वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज का आधार है।)

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × height × base

अत: केन्द्र पर बने हुए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 50 cm²

संगत वृत्तखंड के क्षेत्रफल की गणना

अब संगत लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल

= लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

= 78.5 cm ² – 50 cm²

= 28.5 cm²

संगत वृहत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

अत: दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = π (10 cm)²

= 3.14 × 100 cm²

= 314 cm²

अब संगत बृहत या दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 314 cm – 78.5 cm ²

= 235.5 cm²

अत: संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 28.5 cm² Answer

और संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 235.5 cm² Answer

प्रश्न संख्या (5) त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60⁰ का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए

(i) चाप की लम्बाई

(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाये गये वृत्तखंड का क्षेत्रफल

हल

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 21cm

चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण = 60⁰

(i) चाप के लम्बाई की गणना

हम जानते हैं कि θ कोण वाले चाप की लम्बाई

अत: 60⁰ कोण वाले चाप की लम्बाई

अत: चाप की लम्बाई = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत: 60⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 231 cm²

अत: चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 231 cm²

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाये गये वृत्तखंड का क्षेत्रफल

यहाँ संगत जीवा द्वारा त्रिभुज OAB बनाया जा रहा है

संगत जीवा द्वारा बनाये गये इस त्रिभुज OAB का कोण = 60⁰

तथा त्रिभुज की भुजा

OA = OB = 21 cm

[चूँकि OA तथा OB दिये गये वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

यहाँ चूँकि त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है।

We know that, area of an equilateral triangle

= 190.953 cm²

अब चाप द्वारा बनाये गये वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 231 cm² – 190.953 cm²

= 40.047 cm²

अत: उत्तर =

(i) चाप की लम्बाई = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 231 cm²

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाये गये वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 40.047 cm²

प्रश्न संख्या (6) 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60⁰ का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π 3.14 और √ 3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

हल

[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) लघु त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल निकालें। (b) लिये गये जीवा द्वारा बनाये गये समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें। (c) त्रिज्यखंड OAPB के क्षेत्रफल से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल घटाने पर लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल प्राप्त होगा। (d) वृत्त का क्षेत्रफल में से लघु वृतखंड का क्षेत्रफल घटाने पर दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 15 cm

जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण = 60⁰

संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत:, 60⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 117.75 cm²

अब चूँकि जीवा द्वारा केन्द्र पर 60⁰ का कोण बनाया जाता है, अत: जीवा तथा वृत्त के त्रिज्या द्वारा बनाया गया त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है।

अब समबाहु त्रिभुज OAB में,

OA = OB = 15 cm, और ∠ O = 60⁰

हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

अत: त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

= 97.3125 cm²

अब संगत लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल

= लघु त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

= 117.75 cm² – 97.3125 cm²

= 20.4375 cm²

हम जानते हैं कि वृत्त की क्षेत्रफल = π r²

अत: दिये गये वृत्त की क्षेत्रफल = 3.14 × (15 cm)²

= 3.14 × 225 cm²

= 706.50 cm²

अब संगत वृहत वृतखंड AQB का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल

= 706.50 cm² – 20.4375 cm²

= 686.0625 cm²

अत: संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 20.4375 cm² उत्तर

तथा संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 686.0625 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (7) त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120⁰ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π 3.14 और √ 3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)।

हल

[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) कोण 120⁰ द्वारा वृत्त पर बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (b) संगत जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (c) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल प्राप्त हो जायेगा।]

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 12 cm

त्रिज्यखंड का कोण = 120⁰

अत: संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल =?

हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

अत: 120⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 150.72 cm²

त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल की गणना

त्रिभुज OAB में,

∠ AOB = 120⁰

OA = OB = 12 cm [चूँकि एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

अब एक OM⊥AB खींचा गया।

अब Δ OAM और Δ OMB में,

OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

∠ OMA = ∠ OMB = 90⁰

[चूँकि OM⊥AB]

OM = OM [दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है]

अत: RHS समरूपता कसौटी के आधार पर

Δ OAB ≅ Δ OBM

अत: CPCT, अर्थात समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ बराबर होती के सिद्धांत के आधार पर

∠ AOM = ∠ MOB

और, AM = BM

i.e. M कोण ∠AOB और आधार AB का मध्य बिन्दु है

अत:, ∠ AOM = ∠ MOB = 60⁰

अब, त्रिभुज OAM में,

∠ OAM = 60⁰

OA = 12 cm

OM = ?

अत:

अब, Δ OAM में,

चूँकि, AM = MB

अत:, MB = 6 √ 3 cm

अत:,

AB = AM + MB

⇒ AB= 6 √ 3 cm + 6 √ 3 cm

⇒ AB = 12√3 cm

अब, त्रिभुज OAB

AB = आधार = 12 √3

OM = ऊँचाई = 6 cm

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

अत: त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = 1/2 × 12√ 3 cm × 6 cm

= 36√ 3 cm²

= 36 × 1.73 cm²

= 62.28 cm²

अब वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल

= त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

= 150.72 cm² – 62.28 cm²

= 88.44 cm²

अत: वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = 88.44 cm² उत्तर

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Reference:

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