वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
दसवीं गणित
एनसीईआरटी अभ्यास 12.2 का हल भाग 2
प्रश्न संख्या (8) 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि धोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) वृत्त की त्रिज्या 5 m मीटर तथा कोण 900 मानकर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) फिर वृत्त की त्रिज्या 10 m मीटर तथा कोण 900 मानकर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (c) दोनों त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का अंतर ज्ञात कर चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि ज्ञात कीजिए]
दिया गया है, त्रिज्यखंड का कोण = 900
[चूँकि दिया गया क्षेत्र वर्गाकार धास का मैदान है।]
मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें रस्सी से बंधा घोड़ा घास चर सकता है अर्थात जब रस्सी की लम्बाई 5m तो चरे जा सकने वाले भाग का क्षेत्रफल = ?
जब रस्सी की लम्बाई 10 m हो जाती है, तो चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = ?
(i) जब रस्सी की लम्बाई = 5 m है तो मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, की गणना
हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 
अत: 900 कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 19.625 cm2
अत: मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें घोड़ा घास चर सकता है जब रस्सी की लम्बाई 5 m है = 19.625 cm2 उत्तर
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि धोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय, की गणना
यहाँ रस्सी की लम्बाई अर्थात वृत्त की त्रिज्या = 10 m
अब 900 कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 3.14 × 25 cm2
= 78.5 cm2
चरे जा सकने वाले क्षेत्र वृद्धि = चरा जा सकने वाला क्षेत्र, जब रस्सी की लम्बाई 10 m है – चरा जा सकने वाला क्षेत्र, जब रस्सी की लम्बाई 5 m है।
= 78.5 cm2 – 19.625 cm2
= 58.875 cm2
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि धोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय = 58.875 cm2 Answer
प्रश्न संख्या (9) एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृत्ति में दर्शाया गया है, तो ज्ञात कीजिए
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
Solution
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) दिये गये व्यास के आधार पर वृत की परिधि (परिमाप) ज्ञात कीजिए (b) दिये गये व्यास को 5 से गुणाकर 5 व्यासों की लम्बाई ज्ञात करें। (c) वृत्त की परिधि तथा 5 व्यासों के कुल लम्बाई को जोड़कर कुल लगने वाले चाँदी के तार की लम्बाई ज्ञात करें। (d) वृत का क्षेत्रफल निकालकर उसे 10 से भाग देकर एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।]
दिया गया है, वृत्त का व्यास = 35 mm
अत: वृत्त की त्रिज्या = 35/2 = 17.5 mm
कुल त्रिज्यखंडों की संख्या = 10
व्यासों की कुल संख्या = 5
अत: तार की लम्बाई = ?
प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ?
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई
हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = 2 π r
अत: दिये गये वृत्त की परिधि
अब 5 व्यास की कुल लम्बाई = व्यास × 5
= 35 × 5 = 175 cm
अब चाँदी के तार की कुल लम्बाई
= ब्रूच की परिधि + 5 व्यासों की कुल लम्बाई
= 110 cm + 175 cm
= 285 cm
अत:, चाँदी के तार की कुल लम्बाई = 285 cm उत्तर
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत: एक त्रिज्यखंड द्वारा बनाया जानेवाला कोण = 360
हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 96.25 cm2
अत: (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई = 285 mm और (ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 96.25 cm2 उत्तर
प्रश्न संख्या (10) एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
हल
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका(a) वृत्त के कुल कोण (3600) को छतरी के तानों की संख्या अर्थात 8 से भाग देने पर भागफल 450 आता है। (b) 450 कोण के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो दो क्रमागत तानों का क्षेत्रफल होगा।]
दिया गया है, छतरी की त्रिज्या = 45 cm
तानों की कुल संख्या = 8
अत:, एक ताना द्वारा छतरी के केन्द्र पर बनाया गया कोण = 360/8 = 450
अर्थात, θ = 450
तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 795.53 cm2
अत: दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = 795.53 cm2 उत्तर
प्रश्न संख्या (11) किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 1150 के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका: (a) 1150 कोण तथा 25 cm के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह एक वाइपर द्वारा साफ करने वाले क्षेत्रफल को बताएगा।(b) एक वाइपर द्वारा साफ किये जाने वाले क्षेत्रफल को 2 से गुणा करने पर दोनों वाइपर द्वारा एक साथ साफ किये जाने वाला क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]
दिया गया है, वाइपर की पत्ती की लम्बाई = 25 cm
अर्थात त्रिज्या, r = 25 cm
वाइपर के घूम सकने वाला कोण, अर्थात त्रिज्यखंड का कोण, θ = 1150
अत: पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ किये जाने वाला क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि, θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत: 1150 कोण के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत:, 1150 कोण के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 627.48 cm2
अर्थात एक वापर द्वारा एक बार में साफ किया जाने वाला क्षेत्रफल = 627.48 cm2
अत: दो वाइइपर द्वारा एक बार में साफ किया जाने वाला कुल क्षेत्रफल
= एक वाइपर द्वारा एक बार में साफ किया जाने वाला क्षेत्रफल × 2
= 627.48 cm2 × 2
= 1254.96 cm2
अत: पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ होने वाला क्षेत्रफल = 1254.96 cm2 उत्तर
प्रश्न संख्या (12) जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 800 कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) दिये गए दूरी को त्रिज्या मानकर दिये गये कोण के आधार पर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल होगा जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सकती है।]
दिया गया है, त्रिज्यखंड का कोण, θ = 800
दूरी जहाँतक लाइट हाउस द्वारा प्रकाश फैलाया जाता है, अर्थात वृत्त की त्रिज्या = 16.5 km
प्रकाश फैल सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत: 800 कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 189.97 km2
अत: समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके = 189.97 km2 उत्तर
प्रश्न संख्या (13) एक गोल मेजपोश पर छ: समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो रू 0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। ( √3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)
हल
[प्रश्न को हल करने की योजना या तरीका (a) वृत्त के कोण अर्थात 3600 में 6 से भाग देकर एक त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात करें। (b) फिर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (c) एक त्रिज्यखंड के जीवा द्वारा बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर उसे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से घटाएँ। यह डिजाइन वाले एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल होगा। (d) एक वृत्तखंड के क्षेत्रफल को 6 से गुणा करने पर मेजपोश पर पूरे डिजाइन का क्षेत्रफल प्राप्त होगा। (e) डिजाइन के क्षेत्रफल को प्रतिवर्ग सेंटीमीटर से गुणा करने पर डिजाइन बनाने की लागत ज्ञात हो जायेगी।]
दिया गया है, मेजपोश अर्थात वृत्त की त्रिज्या = 28 cm
डिजाइन की कुल संख्या अर्थात सेक्टर की कुल संख्या = 6
अत:, एक सेक्टर का कोण r = वृत्त का कोण/6
= 360/6 = 600
डिजाइन बनाने का दर = Rs 0.35 per cm2
अत:, डिजाइन बनाने की लागत = ?
हम जानते हैं कि θ कोण वाले सेक्टर का क्षेत्रफल
अत:, 600 वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 410.66 cm2
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
चूँकि केन्द्र पर बनने वाले त्रिभुज का कोण = 600 है अत: यह त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज की एक भुजा = 28 cm
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, 
अत: समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
= 333.20 cm2
अब वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
= 410.66 cm2 – 333.20 cm2
= 77.46 cm2
अत: एक वृत्तखंड अर्थात एक डिजाइन का क्षेत्रफल = 77.46 cm2
अब कुल 6 वृत्तखंड अर्थात 6 डिजाइन का क्षेत्रफल
= सभी 6 डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 1 वृत्तखंड अर्थात एक डिजाइअन का क्षेत्रफल × 6
= 77.46 cm2 × 6
= 464.76 cm2
अब,
∵ 1 cm2 डिजाइन बनाने की लागत = Rs 0.35
अत: 464.76 cm2 डिजाइन बनाने की लागत
= 464.76 × रू 0.35 = रू 162.66
अत: डिजाइन बनाने की कुल लागत = रू 162.66 उत्तर
वैकल्पिक विधि
वृत्त की त्रिज्या = π r2
अत: दिये गये वृत्त की त्रिज्या
= 2464 cm2
अब हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,
अत: समबाहुअ त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
= 333.20 cm2s
अत: 6 समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 333.20 × 6 cm2
= 1999.20 cm2
अत: सम्पूर्ण डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – 6 समबाहु त्रिभुज का कुल क्षेत्रफल
= 2464 – 1999.20
= 464.80 cm2
∵ 1 cm2 डिजाइन बनाने की लागत = Rs 0.35
अत: 464.76 cm2 डिजाइन बनाने की लागत
= 464.76 × रू 0.35 = रू 162.66
अत: डिजाइन बनाने की कुल लागत = रू 162.66 उत्तर
प्रश्न संख्या (14) निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए:
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p0 है, निम्नलिखित है:
ब्यख्या
θ कोण तथा r त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत: p0 तथा त्रिज्या R वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
अत: विकल्प 
सही उत्तर है।
Reference: