समांतर श्रेणी
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 5.1 Q3-4
प्रश्न संख्या: (3) निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिये प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:
(i) `3,1,-1,-3,` .....
हल:
यहाँ, प्रथम पद `(a_1)` = 3
हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।
अत:, `a_2-a_1=1-3=-2`
तथा, `a_3-a_2 = -1-1=-2`
तथा, `a_4-a_3=-3-(-1)=-3+1=-2`
यहाँ, `k` के प्रत्येक मान के लिये `a_(k+1)-a_k=-2` है।
∴ सार्व अंतर (Common difference) `=-2`
∴ प्रथम पद `= 3` तथा सार्व अंतर `=-2` उत्तर
प्रश्न संख्या 3(ii) `-5, -1, 3, 7, ` .....
हल:
दिया गया है, `-5, -1, 3, 7, ` .....
यहाँ प्रथम पद `(a_1)=-5`
हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।
अब, `a_2-a_1 = -1-(-5)=-1+5=4`
तथा, `a_3-a_2=3-(-1)=3-1=4`
तथा, `a_3-a_3 = 7-3=4`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिए, `a_(k+1)-a_k=4`
∴ सार्व अंतर `= 4`
अत: प्रथम पद `=-5` तथा सार्व अंतर (common difference) `= 4` उत्तर
प्रश्न संख्या 3. (iii) `1/3, 5/3, 9/3, 13/3,` ....
हल:
दिया गया है, `1/3, 5/3, 9/3, 13/3,` ....
यहाँ प्रथम पद `(a_1) = 1/3`
हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।
अब, `a_2-a_1 = 5/3-1/3`
`=(5-1)/3=4/3`
तथा, `a_3-a_2=9/3-5/3`
`=(9-5)/3=4/3`
तथा, `a_4-a_3 = 13/3-9/3`
`=(13-9)/3=4/3`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिए `a_(k+1)-a_k=4/3` है।
∴ सार्व अंतर `=4/3`
∴ प्रथम पद `=1/3` तथा सार्व अंतर (Common difference) `=4/3` उत्तर
प्रश्न संख्या 3 (iv) ` 0.6, 1.7, 2.8, 3.9` ......
हल:
यहाँ प्रथम पद `(a_1)=0.6`
हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।
अब, `a_2-a_1 = 1.7-0.6 =1.1`
तथा, `a_3-a2=2.8-1.7 = 1.1`
तथा, `a_4-a_3 = 3.9-2.8=1.1`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिए, `a_(k+1)-a_k=1.1` है।
∴ सार्व अंतर (Common difference) `= 1.1`
अत:, प्रथम पद `= 0.6` तथा सार्व अंतर (common difference) `= 1.1` उत्तर
प्रश्न संख्या 4. निम्नलिखित में से कौन कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) `2,4, 8, 16,` .....
हल:
यहाँ, `a_2-a_1 = 4-2 = 2`
तथा, `a_3-a_2 = 8-4 = 4`
तथा, `a_4-a_3 = 16-8=8`
यहाँ चूँकि `k` के प्रत्येक मान के लिए `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है। अत: दी गई सूची समांतर श्रेणी [Arithmetic progression (A.P.)] में नहीं है।
प्रश्न संख्या 4. (ii) `2, 5/2, 3, 7/2,` ......
हल:
यहाँ, `a_2-a_1 = 5/2-2`
`=(5-4)/2=1/2`
तथा, `a_3-a_2 = 3-5/2`
`= (6-5)/2 = 1/2`
तथा, `a_4-a_3 = 7/2-3`
`= (7-6)/2=1/2`
यहाँ चूकि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है, अत: दी गई सूची समांतर श्रेणी [Arithmetic progression (A.P.) ] में है।
यहाँ प्रथम पद `a_1 = 2`
तथा सार्व अंतर `= 1/2`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पाँचवा पद
`a_5 = 2+(5-1)xx 1/2`
`= 2+ 4xx1/2 = 2+2`
`:. a_5 = 4`
छठा पद
`a_6 = 2+(6-1)xx1/2`
`= 2+5xx1/2 = (4+5)/2`
`:. a_6 = 9/2`
तथा सातवां पद
`a_7 = 2+(7-1)xx1/2`
`= 2+6xx1/2=2+3`
`:. a_7 = 5`
∴ अत: सार्व अंतर `d = 1/2` तथा `4, 9/2,` एवं `5` दिये गये समांतर श्रेणी का तीन अन्य पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या 4. (iii) `-1.2, -3.2, -5.2, -7.2,` .......
हल:
दिया गया है, `-1.2, -3.2, -5.2, -7.2,` .......
यहाँ, `a_2-a_1 = -3.2-(-1.2)`
`=-3.2+2.2=-2`
तथा, `a_3-a_2=-5.2-(-3.2)`
`=-5.2+3.2=-2`
तथा, `a_4-a_3 = -7.2-(-5.2)`
`= -7.2+5.2=-2`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
यहाँ प्रथम पद `a_1 = -1.2`
तथा सार्व अंतर e `= -2`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5 = -1.2+(5-1)xx(-2)`
`= -1.2 + 4xx(-2)=-1.2-8`
`=>a_5=-9.2`
तथा छठा पद
`a_6=-1.2+(6-1)xx(-2)`
`= -1.2+5xx(-2)=-1.2-10`
`:. a_6 = -11.2`
तथा सातवां पद
`a_7 = -1.2+(7-1)xx(-2)`
`= -1.2 +6xx(-2)= -1.2-12`
`:. a_7 = -13.2`
∴ सार्व अंतर, `d = -2`; तथा `-9.2, -11.2` एवं `-13.2` दिये गये समांतर श्रेणी के अन्य तीन पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 4 (iv) `-10, -6, -2, 2, ` .......
हल:
दिया गया है, `-10, -6, -2, 2, ` .......
यहाँ, `a_2-a_1 = -6-(-10)`
`=-6+10=4`
तथा, `a_3-a_2 = -2-(-6)`
`=-2+6 =4`
तथा, `a_4-a_3 = 2-(-2)`
`=2+2=4`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
यहाँ प्रथम पद, `(a_1)=-10`
तथा सार्व अंतर `= 4`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5= -10+ (5-1)xx4`
`=-10+4xx4=-10+16`
`:. a_5 = 6`
तथा छठा पद
`a_6 = -10+(6-1)xx4`
`= -10+5xx4=-10+20`
`:. a_6 = 10`
तथा सातवां पद
`a_7 = -10 + (7-1)xx4`
`= -10 + 6 xx 4=-10+24`
`:. a_7 = 14`
∴ सार्व अंतर, `d = 4`; तथा `6, 10` एवं `14` दिये गये समांतर श्रेणी के अन्य तीन पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 4. (v) ` 3, 3+sqrt2, 3+2sqrt2, 3+3sqrt2` .....
हल:
दिया गया है, ` 3, 3+sqrt2, 3+2sqrt2, 3+3sqrt2` .....
यहाँ, `a_2-a_1=3+sqrt3-3=sqrt2`
तथा, `a_3-a_2 = 3+2sqrt2-(3+sqrt2)`
`=3+2sqrt2-3-sqrt2`
`= 2sqrt2-sqrt2=sqrt2`
तथा, `a_4-a_3 = 3+3sqrt2-(3+2sqrt2)`
`=3+3sqrt2-3-2sqrt2`
`= 3sqrt2-2sqrt2=sqrt2`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
यहाँ प्रथम पद `(a_1)=3`
तथा सार्व अंतर `= sqrt2`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5 = 3+(5-1)xxsqrt2`
`=3+4sqrt2`
तथा छठा पद
`a_6 = = 3+(6-1)xxsqrt2`
` = 3+5sqrt2`
तथा सातवां पद
`a_7 = = 3+(7-1)xxsqrt2`
`=3+6sqrt2`
∴ सार्व अंतर (Common difference), `d =sqrt2` ; तथा `3+4sqrt2, 3+5sqrt2` एवं `3+6sqrt2` दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के तीन अन्य पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या 4. (vi) ` 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ` .......
हल:
दिया गया है, ` 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ` .......
यहाँ, `a_2-a_1 = 0.22-0.2`
`= 0.02`
तथा, `a_3 - a_2 = 0.222-0.22`
`= 0.002`
तथा, `a_4-a_3 = 0.2222-0.222`
`=0.0002`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।
Reference: