समांतर श्रेणी
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 5.1 Q4(viii-xv)
प्रश्न संख्या. 4 (vii) `0, -4, -8, -12` ......
हल:
दिया गया है, `0, -4, -8, -12` ......
यहाँ, `a_2-a_1 = -4-0=-4`
तथा, `a_3-a_2 = -8-(-4)`
`= -8+4=-4`
तथा, `a_4-a_3 = -12-(-8)`
`= -12+8=-4`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
यहाँ प्रथम पद `0`
तथा सार्व अंतर `= -4`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5 = 0+(5-1)xx(-4)`
`= 4xx(-4)=-16`
तथा छठा पद
`a_6 = 0+(6-1)xx(-4)`
`= 5xx(-4)=-20`
तथा सातवां पद
`a_7 = 0+(7-1)xx(-4)`
`= 6xx(-4) = -24`
∴ सार्व अंतर, `d = -4`; तथा `-16, -20` एवं `-24` दिये गये समांतर श्रेणी के तीन अन्य पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 4 (viii) `-1/2, -1/2, -1/2, -1/2` .....
हल:
दिया गया है, `-1/2, -1/2, -1/2, -1/2` .....
यहाँ, `a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3 =0`
अत: सार्व अंतर (common difference) `d, =0`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
चूँकि सार्व अंतर (common difference) ` = 0`
∴ पंचम पद `(a_5) = -1/2`
तथा छठा पद, `(a_6)=-1/2`
तथा सातवां पद, `(a_7)=-1/2`
∴ सार्व अंतर (Common difference), `d = 0`; तथा `-1/2, -1/2` एवं `-1/2` दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं।
प्रश्न संख्या. 4 (ix) `1, 3, 9, 27, ` .......
हल:
दिया गया है, `1,3,9,27` ......
यहाँ, `a_2-a_1 = 3-1=2`
तथा, `a_3-a_2 = 9-3=6`
तथा, `a_4-a_3 = 27-9=18`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।
प्रश्न संख्या. 4 (x) `a, 2a, 3a, 4a,` .......
हल:
दिया गया है, `a, 2a, 3a, 4a,` .......
यहाँ, `a_2-a_1 = 2a-a = a`
तथा, `a_3-a_2 = 3a-2a=a`
तथा, `a_4-a_3 = 4a-3a=a`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
∴ प्रथम पद `=a`
तथा सार्व अंतर (common difference) `=a`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5 = a+(5-1)xxa`
`=>a_5 = a+4a=5a`
तथा छठा पद
`a_6 = a+(6-1)xxa`
`a_6 = a+5a=6a`
तथा सातवां पद
`a_7 = a+(7-1)xxa`
`a_7 = a+6a=7a`
∴ सार्व अंतर (Common difference), `d = a`; तथा `5a, 6a` एवं `7a` दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 4 (xi) `a, a^2, a^3, a^4,` .......
हल:
दिया गया है, `a, a^2, a^3, a^4,` .......
यहाँ, `a_2-a_1 = a^2-a`
`=a(a-1)`
तथा, `a_3-a_2 = a^3-a^2`
`=a^2(a^2-1)`
तथा, `a_4-a_3 = a^4-a^3`
`=a^3(a^2-1)`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।
प्रश्न संख्या. 4 (xii) `sqrt2, sqrt8, sqrt18, sqrt32` ....
हल:
दिया गया है, `sqrt2, sqrt8, sqrt18, sqrt32` ....
यहाँ, `a_2-a_1 = sqrt8-sqrt2`
`=sqrt(4xx2)-sqrt2`
`=2sqrt2-sqrt2=sqrt2`
तथा, `a_3-a_2 = sqrt18-sqrt8`
`=sqrt(9xx2)-sqrt(4xx2)`
`=3sqrt2-2sqrt2 =sqrt2`
तथा, `a_4-a_3=sqrt32-sqrt18`
`=sqrt(16xx2)-sqrt(9xx2)`
`=4sqrt2-3sqrt2=sqrt2`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
यहाँ प्रथम पद `= sqrt2`
तथा सार्व अंतर `=sqrt2`
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5 = sqrt2+(5-1)xxsqrt2`
`=sqrt2+4sqrt2`
`=>a_5=5sqrt2`
दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि
`(a_5)^2=(5sqrt2)^2`
`=>(a_5)^2=25xx2=50`
`=>a_5=sqrt50`
तथा छठा पद
`a_6=sqrt2+(6-1)xxsqrt2`
`=sqrt2+5sqrt2`
`=>a_6=6sqrt2`
दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि
`(a_6)^2=(6sqrt2)^2`
`=>(a_6)^2=36xx2=72`
`=>a_6 = sqrt72`
तथा सातवां पद
`a_7=sqrt2+(7-1)xxsqrt2`
`=sqrt2+6sqrt2`
`=>a_7=7sqrt2`
दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि
`(a_7)^2=(7sqrt2)^2`
`=>(a_7)^2=49xx2=98`
`=>a_7 = sqrt98`
∴ सार्व अंतर, `d = sqrt2`; तथा `sqrt50, sqrt72` एवं `sqrt98` दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के तीन अन्य पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 4 (xiii) `sqrt3, sqrt 6, sqrt9, sqrt12` ........
हल:
हल, `sqrt3, sqrt 6, sqrt9, sqrt12` ........
यहाँ, `a_2-a_1=sqrt6-sqrt3`
तथा, `a_3-a_2=sqrt9-sqrt6`
`=3-sqrt6`
तथा, `a_4-a_3 = sqrt12-sqrt9`
`=sqrt(4xx3)-3`
`=2sqrt3-3`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।
प्रश्न संख्या. 4 (xiv) `1^2, 3^2, 5^2, 7^2` .......
हल:
दिया गया है, `1^2, 3^2, 5^2, 7^2` .......
यहाँ, `a_2-a_1=3^2-1^2`
`=9-1=8`
तथा, `a_3-a_2=5^2-3^2`
`=25-9=16`
तथा, `a_4-a_3=7^2-5^2`
`=49-25=24`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।
प्रश्न संख्या. (xv) `1^2, 5^2, 7^2, 73` .......
हल :
दिया गया है, `1^2, 5^2, 7^2, 73` .......
यहाँ, `a_2-a_1=5^2-1^2`
`=25-1=24`
तथा, `a_3-a_2=7^2-5^2`
`=49-25=24`
तथा, `a_4-a_3=73-7^2`
`=73-49=24`
यहाँ `k` के प्रत्येक मान के लिएय `a_(k+1)-a_k` बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।
हम जानते हैं कि, `a_n = a+(n-1)d` जहाँ `n` पदों की संख्या है।
∴ पंचम पद
`a_5=1^2+(5-1)xx24`
`=1+4xx24=1+96`
`=>a_5=97`
तथा छठा पद
`a_6=1^2+(6-1)xx24`
`=1+5xx24=1+120`
`=>a_6=121`
तथा सातवां पद
`a_7=1^2+(7-1)xx24`
`=1+6xx24=1+144`
`a_7=145`
∴ सार्व अंतर (Common difference), `d = 24`; तथा `97, 121` एवं `144` दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं।
Reference: